Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
J. Honrath, An introduction to distributions, Amer. Math. Monthly, 77 (1970),-227—240;
F. Treves, Applications of distributions to PDE theory, Amer. Math. Monthly,
77 (1970), 241—248;
A. E. Taylor, Notes on the history and uses of analyticity in operator theory, Amer. Math. Monthly, 78 (1971), 331—342.
ПРИМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ
419
В первом томе серии «Studies in Mathematics* (изданном в 1962 г. Американской математической ассоциацией) содержатся следующие статьи:
Е. J. McShane, A theory of limits;
М. Н. Stone, A generalized Weierstrass approximation theorem;
E. R. Lorch, The spectral theorem;
C. Goffman, Preliminaries to functional analysis.
Имеются два специальных выпуска журнала Bull. Amer. Math. Soc.i один из них (май 1958 г.) посвящен работам Джона фон Неймана, другой (январь 1966 г.) — работам Норберта Винера.
Теперь мы дадим более подробные литературные указания по некоторым вопросам, затронутым в данной книге.
Глава 1
По поводу общей теории топологических векторных пространств см. [8]. [17], [181, [35], [481.
п. 1.8 (е). Банах в определении /^-пространств постулировал лишь раздельную непрерывность умножения на скаляры и доказал, что из нее следует непрерывность по совокупности переменных. Доказательство этого факта, основанное на теореме Бэра, см. в [13, т. 1, стр. 65]. Другое доказательство (принадлежащее Какутапи) не требует полноты пространства, но использует наличие меры Лебега в поле скаляров; см. [16, стр. 53].
Теорема 1.24. Эта метризационная теорема (в более общей ситуации топологических групп) впервые была доказана Дж. Биркгофом (G. Birkhoff, Composiuo Math., З (1936), 427—430) и Какутани (S. Kakutani, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 12 (1936), 128—142). Утверждение (d) этой теоремы, возможно, является новым
п. 1. 33. Функционал Мииковского выпуклого множества иногда называют опорной функцией.
Теорема 1.39 принадлежит А. Н. Колмогорову (Studia Math., 5 (1934), 29—33). Вполне возможно, что это первая теорема о локально выпуклых пространствах.
п. 1.46. Построение функции g с помощью последовательного усреднения можно найти на стр. 80—84 работы С. Мандельбройта (S. Mandelbrojt, Analytic functions and classes of infinitely differentiable functions, The Rice Institute Pamphlet, v. 29 (1942), № 1), где этот прием приписывается Брею (Н. Е. Bray).
п. 1.47. Среди /^-пространств, не являющихся локально выпуклыми, но обладающих достаточным для разделения точек запасом непрерывных линейных функционалов, особенно интересны некоторые подпространства в V, а именно //^-пространства (при 0 < р < 1). Эти пространства подробно изучались в работе Дюрена, Ромберга и Шилдса (P. L. Duren, В. W. Romberg, A. L. Shields, J. Reine Angew. Math., 238 (1969), 32—60), а также в работах Дюрена и Шилдса (Trans. Amer. Math. Soc., 141 (1969), 255—262, и Рас. J. Math., 32 (1970), 69—78).
Глава 2
По существу, все результаты этой главы содержатся в [4].
Упр. 11. Кажется, не известно, обязано ли быть открытым в точке (0,0) непрерывное билинейное сюръективное отображение В: XxY—*Z, где X, Y и Z—банаховы пространства.
14*
«20
ПРИЛОЖЕНИЕ В
Упр. 13. Бочкой называется замкнутое выпуклое уравновешенное когло -щающее множество. Пространство называется бочечным, если в нем всякая
бочка содержит некоторую окрестность нуля. В упр. 13 утверждается, что
топологическое векторное пространство второй категории является бочечным.
Существуют бочечные пространства первой категории; для-них справедливы !некоторые варианты теоремы Банаха — Штейнгауза. См.. [17, стр. 104"], ¦ а также [18]. Бочечные пространства, обладающие свойством Гейне — Бореля,
часто называют монтелевскими пространствами (см. п. 1.45).
Глава 3
Теорема 3.2 имеется в [4]. Ее комплексный вариант (теорема 3.3) был доказан Боненблюстом и Собчиком (II. F. Bohnenblust, A. Sobczyk, Bull. Amer. Math. Soc, 44 (1938), 91—93) и Г. А. Сухомлиновым1) (Матем. сб.у 3 (1938), 353—358).
Теорема 3.6. По поводу частичного обращения этой теоремы см. работу Шапиро (J. Н. Shapiro, Duke Math. J., 37 (1970), 639—645).
Теорема 3.15, См. работу Алаоглу (L. Alaoglu, Ann. Math., 41 (1940), "252—267). Для сепарабельных банаховых пространств эта теорема доказана Банахом [4] (см. также [5, стр. 107]).
Теорема 3.18. Более короткое доказательство этой теоремы, использую-іцее полунормы, можно найти на стр. 223 книги [8].
Теорема 3.21 для слабо* компактных выпуклых подмножеств пространства, сопряженного к банаховому, была доказана М. Г. Крейном и Д. П. Мильманом {Studla Math., 9 (1940), 133—138).
История интегрирования векторных функций описана Хильдебрапдтом '(Т. Н. Hildebrandt, Bull. Amer. Math. Soc, 59 (1953), 111—139). Понятие «слабого» интеграла (определение 3.26) введено Петтисом (В. J. Pettis, Trans. Amer. Math. Soc, 44 (1938), 277—304).
История векторных голоморфных функций описана Тейлором (А. Е. Taylor, Amer. Math. Monthly, 78 (1971), 331—342).
Теорема 3.31. Совпадение классов слабо голоморфных и сильно голоморфных функций со значениями в комплексном банаховом пространстве •<было доказано Даифордом (N. Dunford, Trans. Amer. Math. Soc, 44(1938), 304—356).
