Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 163

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 157 158 159 160 161 162 < 163 > 164 165 166 167 168 169 .. 171 >> Следующая

Теорема 10.38. Эти формулы дифференцирования, быть может, новые3).
Теорема 10.42. Ривьер (N. М. Riviere) показал мне это доказательство для случая экспоненты, .действующей в алгебре всех квадратных матриц "второго порядка над полем комплексных чисел.
п. 10.43. Эти результаты (как и результаты, указанные в упр. 12) принадлежат Хилле (Е. Hille, Math. Ann., 136 (1958), 46—57).
Теорема 10.44 (d) принадлежит Лорху (Е. R. Lorch, Trans. Amer. Math. Soc, 52 (1942), 238—248).
Упр. 16. Этот результат представляет собой простейший случай теоремы Аренса— Ройдена для коммутативных банаховых алгебр. Теорема Аренса — Ройдена непосредственно связывает группу GfG1 с топологической структурой пространства максимальных идеалов алгебры Л. См. статью Ройдена (Н. L. Roy-den, Bull. Amer. Math. Soc, 69 (1963), 281—298) 4). См. также заметку Аренса
х) Здесь стоит напомнить результат С. Мазура, который еще в 1938 г. показал, что алгебра изоморфна полю, комплексных чисел, если ||л:у|1 = = Il * Il Il У\[ Для всех х и У (см- п0 этому поводу [10, стр. 74]).— Прим. ред.
2) В оригинале автор употребляет термин symbolic calculus. При переводе решено было использовать (достаточно нейтральный) термин «функциональное исчисление», который, кстати, в аналогичной ситуации использован в русском переводе книг [7] и [9]. — Прим. ред.
3) Если говорить о новизне, то здесь речь может идти только о степени общности, в которой обоснованы формулы. См., например, Ю. Л. Далецкий а М. Г. Крейн, Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, «Наука», M., 1970, и В. И. Буренков, Матем,заметки, 10, № 2 (1971), 207—218. В частности, Буренков, рассматривая дифференцирование по параметру, подчеркивает важность условия типа «Й содержит все Я с J Я I < 3 II X Il » для справедливости формулы, подобной (4) из п. 10.38, и на примерах показывает, что константа 3 наилучшая. — Прим. ред.
4) Имеется русский перевод: сб. Математика^ 9:2 (1965), 98—114.— Прим. ред.
426
ПРИЛОЖЕНИЕ В
(R. Arens) в сборнике Function Algebras, Glenview, III., 1966, ed. F. T. Bir-tel. pp. 164—168 і).
Упр. 17. По поводу точной структуры группы GfG1 в данном случае см. работу Тейлора (J. L. Taylor, Acta Math., 126 (1971), 195—225).
Упр. 252). См. ле Паж (С. Le Page, С. R. Acad. Sei. Paris, 265 (1967), А235—А237).
Глава U
Теорема 11.7. Для случая я=1П. Коэн (P.J.Cohen, Proc Amer. Math. Soc, 12 (1961), 159—163) нашел элементарный способ доказательства. При п > 1 доказательство, приведенное в тексте, по-видимому, единственное известное.
Теорема 11.9. Если алгебра А не имеет единицы, то пространство Д локально компактно (но не компактно) и A CC0 (А). В этом случае начало-координат пространства А* попадает в замыкание пространства А. См. [20, стр. 71].
Пример 11.13 (d) объясняет, почему имеется тесная связь между коммутативными банаховыми алгебрами и голоморфными функциями нескольких комплексных переменных. В данной книге эта связь не прослеживается вовсе. Нынешнее состояние дел в этом вопросе очень хорошо освещается в книгах Браудера [6], Гамелина [9] и Стаута [31]. Функциональное исчисление может быть развито для функций от нескольких элементов банаховой алгебры 3). См. работы Аренса и Кальдерона (R. Arens, А. Р. Caldcron, Ann. Math., 62 (1955), 204—216) и Тейлора (J. L. Taylor, Acta Math., 125 (1970), 1—38).
Пример 11.13(e) показывает, каким образом ряд результатов гармонического анализа легко получается при помощи аппарата банаховых алгебр. См. по этому поводу [20] и [29].
Теорема 11.18 была доказана Гельфандом и Наймарком (Матем. сб., 12 (1943). 197—213). В той же работе они доказали, что каждая В*-алгебра А (коммутативная или нет) изометрически *-изоморфна некоторой алгебре ограниченных операторов подходящего гильбертова пространства (теорема 12.41), если дополнительно элемент е-\-х*х обратим для каждого х?А. То, что это дополнительное предположение излишне (утверждение (f) теоремы 11.28), было доказано И. Капланским лишь 15 лет спустя. Ссылки, касающиеся более ранней истории этой теоремы, см. в [25, стр. 248]. Гликфельд (В. J. Glick-feld, ///. J. Math., 10 (1966), 547—556) показал, что Л является В*-алгсброй, если \1 ехр (ix) || = 1 для каждого эрмитова элемента х?А.
Теорема 11.20. Идея перехода от А к A/R для доказательства теоремы без предположения о непрерывности инволюции принадлежит Форду (J. W. М. Ford, J. Lond. Math. Soc, 42 (1967), 521—522).
г) Частный случай теоремы Аренса — Ройдена, указанный в упр. 16, известен еще с 30-х годов (теорема Брушлинского—Эйленберга). Формулировку и доказательство теоремы Аренса—Ройдена в полном объеме можно найти в [9].—Прим. ред.
2) Пример, приведенный в примечании на стр. 294, принадлежит А. С. He-мировскому (Вестник МГУ, сер. матем., мех., № 6 (1971), 3—7). В указанной работе содержится более общий результат. В некоторых специальных классах алгебр такой эффект невозможен. Например, каждая некоммутативная Б*-алгебра содержит нетривиальный нильпотент (И. Капланский). См. Ж. Диксмье, С*-алгебры и их представления, «Наука», M., 1974, стр. 73, а также упомянутую выше работу Немировского. — Прим. ред.
Предыдущая << 1 .. 157 158 159 160 161 162 < 163 > 164 165 166 167 168 169 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed