Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
3) Причем первые существенные достижения здесь принадлежат Г. Е. Шилову (Матем. сб., 32 (1953)) и Вальбруку (L. Waelbroeck, С. R. Acad. Sei., Paris, 238 (1954), 556—558).— Прим. ред.
ПРИМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ
427
Теорема 11.23. См. R. S. Foguel, Ark. Mat., З (1957), 449—461.
Теорема 11.25. См. P. Civin, В. Yood, Рас. J.Math., 9 (1959), 415—436, особенно стр. 420. См. также {25, стр. 182].
Теорема 11.28. В более ранней редакции эти вещи имеются у Птака <V. Ptak, Bull. Lond. Math. Soc., 2 (1970), 327—334). См. также примечание к теореме 11.18.
Теорема 11.31. См. [22] и [25]. Бонеблюст и Карлин (Н. F. Bohnenblust, 5. Karlin, Ann. Math., 62 (1955), 217—229) выяснили связи между положительными функционалами и геометрией единичного шара банаховой алгебры.
Теорема 11.32. См. [10]. Кроме того, [20, стр. 126] и [25, стр. 230].
Теорема 11.33 имеется в работе [36] для случая непрерывной инволюции.
Упр. 13. Утверждение (g) противоречит второй половине следствия (4.5.3) «з [25]. Оно также опровергает теорему (4.8 Д6) из [25].
Упр. 14. Впервые это было доказано Бохнсром (S. Bochner, Math. Ann., 108 (1933), 378—410) при помощи того же аппарата, который мы использовали в теореме 7.7. Несколько иное доказательство см. в [29]. Приведенное здесь доказательство демонстрирует различия в изучении положительных функционалов при наличии или отсутствии единичного элемента. См. [20, стр. 128] и [25, стр. 219].
Глава 12
Общие ссылки: [13], [19], [26], [38], [39]. (См. также [3].)
Теорема 12.16. Фуглид (В. Fuglede, Proc.Nat. Acad. Sei. USA, 36(1950), 35—40) доказал это утверждение в случае M = N, причем даже для неограниченного нормального оператора (см. упр. 15 в гл. 13). Его доказательство, использующее спектральную теорему, было затем распространено на случай M Ф N Путнамом (С. R. Putnam, Amer. J. Math., 73 (1951), 357—362), который получил также теорему 12.36. Приведенное в тексте короткое доказательство принадлежит Розенблюму (М. Rosenblum, J. Lond. Math. Soc., 33 (1958), 376—377).
Теорема 12.22. Процесс расширения, позволяющий перейти от непрерывных функций к ограниченным, повторяет описанный в [20, стр. 123—124].
Теорема 12.23. Исторические замечания по поводу спектральной теоремы см. в [13, т. II, стр. 83—86]. См. также заметку Халмоша (Р. R. Haimos, Amer. Math. Monthly, 70 (1963), 241—247) с другим описанием спектральной теоремы. [Интересные замечания, касающиеся различных форм спектральной теоремы, имеются также в задачнике Халмоша [39]. См., в частности, стр. 67—68.— Ред.]
п. 12.27. Ароншайн и Смит (N. Aronszajn, К. Т. Smith, Ann. Math., 60 (1954), 345—350) 1J доказали, что каждый компактный оператор в банаховом пространстве обладает нетривиальным инвариантным подпространством. Бернштейн и Робинсон (A. R. Bernstein, А. Robinson, Рас. J. Math., 16 (1966), 421—431) обнаружили, что это верно и для произвольного ограниченного оператора T в гильбертовом пространстве, для которого компактен оператор р (T) при некотором полиноме р. Доказательство Бсрнштейна и Робинсона использует нестандартный анализ. Халмош (Рас. J.Math., 16(1966), 433— 437) превратил его в доказательство, в котором употребляются только классические средства 2).
1) Имеется русский перевод: сб. Математика, 2:1 (1958), 97—102. Несколько упрощенное изложение см. также в [13, т. II, стр. 282—284].— Прим. ред.
2) Весьма общие теоремы о существовании инвариантных подпространств у операторов, связанных с компактными, доказал В. И. Ломоносов (Функц. анализ, 7, № 3 (1973), 55—56). В частности, он показал, что если T — йену-*
4'28
ПРИЛОЖЕНИЕ В
Теорема 12.38 была доказана Халмошем, Люмером и Шефером (P. R. Haimos, G. Lumer, J. Schaffer, Proc. Amer. Math. Soc, 4 (1953), 142—149). В развитие этого результата Декард и Перси (D. Deckard, С. Pearcy, Acta-Sei. Math. Szeged, 28 (1967), І—7) показали, что образ экспоненты не обязан быть ни открытым, ни замкнутым в группе обратимых элементов. Их работа содержит некоторые ссылки на промежуточные результаты.
Теорема 12.39. См. [25, стр. 227].
Теорема 12.41. См. примечание к теореме 11.18.
Упр. 2. Результат хорошо известен, если N = 4.
Упр. 18. Связь между операторами сдвига и проблемой инвариантных подпространств обсуждается в статье Халмоша1) (/. Reine Angew. Math., 208 (1961), 102—112).
Упр. 27. Многочисленные факты, касающиеся инволюций, содержатся в работе P. Civin, В. Yood, Рас. J. Math., 9 (1959), 415—436.
Упр. 32. Согласно утверждению (с), каждое равномерно выпуклое банахово пространство рефлексивно. См. упр. 1 гл. 4 и примечание к упр. 28 гл. 3. Все !^-пространства (1 < р < со) равпомерно выпуклы. См. J. A. Clark-son, Trans. Amer. Math. Soc, 40 (1936), 396—414, или [17, стр. 355—359]..
Глава 13
Литература общего характера: [13], [26], [42].
Теорема 13.6 впервые была доказана Уинтпером2) (A. Wintner, Phys. Rev.,. 71 (1947), 738—739). Более алгебраическое доказательство, приведенное в тексте, принрдлежит Виландту (Н. Wielandt, Math, Ann., 121 (1949), 21). Несколько более общее рассуждение было использовано Клейпекке (D. С. Kleinecke, Proc. Amer. Math. Soc, 8 (1957), 535—536) для доказательства следующей теоремы о дифференцированиях: если D—такой непрерывный линейный оператор в банаховой алгебре А, что D (ху) = (Dx) у+х Dy для всех х, у?А,_ то спектральный радиус- элемента Dx равен 0 для всякого х?А, для которого X и Dx коммутируют3). См. И. Каплаиский, Функциональный анализ, гл. 3, § 4 (сб. Математика, 3:5 (1959), 91 — 115).
