Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 5.11 была доказана Какутани (S. Kakutani, Proc. Imp. Acad* Tokyo, 14 (1938), 242—245).
Теорема 5.14. Этот простой способ построения меры Хаара па компактной группе, по существу, совпадает с предложенным фон Нейманом (Сотро-sitio Math., 1 (1934), 106—114). Метод фон Неймана (хотя он чуть длиннее)' даже более элементарен и замкнут в себе: в нем не используется теорема о неподвижной точке. В другой работе (Trans. Amer. Math. Soc., 36 (1934), 445—492) фон Нейман использовал тот же прием для построения инвариантного среднего на почти периодических функциях. Если компактность заменить локальной компактностью, то построение меры Хаара становится более трудным (см. [20], [23], [37], [43]).
Теорема 5.18 была доказана (для банаховых пространств) Рудином (Proc. Amer. Math. Soc., 13 (1962), 429—432). Дальнейшие результаты о недопол-няемых подпространствах имеются в работах Розенталя (Н. P. Rosenthal, Projections onto translation-invariant subspaces of LP(G), AMS Memoir, 1966, и Ada Math., 124 (1970), 205—248). Известны также положительные результаты. Например, пространство C0 дополняемо в любом сепарабельном банаховом пространстве, содержащем его (изометрически) в качестве замкнутого-подпространства. Очень короткое доказательство этой теоремы А. Собчика было недавно получено Вичем (W. А. Veech, Proc. Amer. Math. Soc, 2& (1971), 627—628).
Глава 6
Основным объектом ссылок по этому вопросу является, конечно, [45], См. также [11], [35], [46], [48]. Очень сжатое введение в предмет содержится в [41].
Определение 6.3. Пространство S (Й) наделяется здесь топологиек индуктивного предела пространств Фреше S>k. Ф)- Детальное обсуждение этого понятия в абстрактной ситуации см. [17, стр. 217—225]. (См. также [46, гл. 2, § 6].)
Глава 7
По поводу тех аспектов анализа Фурье, которые связаны с распределениями, мы отсылаем к [45] и [41]. (См. также гл. 2 в [11].) Теоретико-групповой аспект обсуждается в [29] и [43]. (См. также [7].) Стандартным курсом по рядам Фурье является [15].
Теорема 7.4. Тесная связь между преобразованием Фурье и дифференцированием— не случайность. Ряды Фурье появились в XVIII веке как средство для решения дифференциальных уравнений.
Теорему 7.5 иногда называют леммой Римана — Лебега.
Теорема 7.9 впервые была доказана Планшерелем (М. Plancherei, Rend. Palermo, ЗО (1910), 289—335).
ПРИМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ
423
Теоремы 7.22 и 7.23. Приведенные здесь доказательства представляют собой детализированное изложение доказательств из [41].
Теорема 7.25 принадлежит С. Л. Соболеву (Машем, сб., 4 (46), (1938), 471—498).
Упр. 16. Результат заимствован из первого контрпримера Л. Шварца к проблеме спектрального синтеза (L. Schwartz, С. R. Acad. Sei. Paris, 227 ((1948), 424 — 426). (По поводу этого примера см. также [10].) Дальнейшую информацию можно найти в работе Герца (С. S. Herz, Trans. Amer. Math. Soc, 94 (1960), 181—232) и в гл. 7 книги [29].
Упр. 17. См. С. S. Herz, Ann. Math., 68 (1958), 709—712.
Глава 8
Общие сведения: [1], [19], [34], [46]. (См. также [24].)
Существование фундаментального решения (теорема 8.5) было установлено независимоЭренпрайсом (L. Ehrenpreis, Amer. J. Math., 76 (1954), 883— 903) и Мальгранжсм в его диссертации (В. Malgrange, Ann. Inst. Fourier, 6 (1955—1956) 271—355). Лемма 8.3 принадлежит Мальгранжу. Он доказывает это утверждение для преобразований Фурье / пробных функций. Мальгранж интегрирует по шару там, где мы использовали тор. С точки зрения приложений это безразлично. Весь вопрос в том, чтобы удачно оценить / через/Р, т. е. проконтролировать результат деления на полином. Различные пути решения этой и более общих проблем деления такого типа нашел Эрен-лрайс. См. [34] и [41], где можно найти дальнейшие ссылки и более детальные результаты *).
В теореме 8.5 существенно, что коэффициенты рассматриваемого дифференциального оператора постоянны: как показал Г. Леви (Н. Lewy, Ann. Math., 66 (1957), 155—158), существуют уравнения с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, не имеющие решений2). Весьма полно эффект отсутствия решений исследовал Хёрмандер (см. [41, гл. 6]).
п. 8.8. Изучаются также многие другие пространства типа пространств Соболева. См. [41, гл. 2]. (См. также И. Стейн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, «Мир», M., 1973.)
Теорема 8.12. См. Фридрихе (К. О. Friedrichs, Comm. Pure Appl. Math., 6 (1953), 299—325) и Лаке (P. D. Lax, Comm. Pure Appl. Math., 8 (1955), 615—633) 3). Лаке сначала разбирает периодический случай при помощи рядов ¦Фурье, а затем выводит из него общий случай. Он не предполагает, что
1J Л. Хёрмандер (см. сб. Математика, 3:5 (1959), 117—130) показал, что проблема деления на полином разрешима в пространстве медленно растущих распределений. Отсюда, в частности, вытекает, что каждое дифференциальное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами обладает медленно растущим фундаментальным решением. Доказательство Хёрмандера использует теорему Зайденберга— Тарского и гладкие продолжения по Уитни. Более общий результат (с заменой полиномов аналитическими функциями) независимо получил Лоясевич (см., в частности, S. Lo-jasiewiez, Studia Math., 18 (1959), 87—136). Глубокие результаты по проблеме деления и смежным проблемам получены В. П. Паламодовым (см., в частности, [24]).—Прим. ред.
