Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
33. Доказать утверждение относительно случая dim Я < оо, содержащееся в замечании после теоремы 12.35.
*) Вместе с тем нелишне, быть может, подчеркнуть, что понятие равномерной выпуклости отражает специальное свойство нормы. С топологической точки зрения перечисленные свойства существенно различаются. Так, свойством (с) обладают все рефлексивные банаховы пространства (это просто) л только они (это совсем не простая теорема Джеймса); в каждом сепара-бельном банаховом пространстве можно так изменить норму на эквивалентную, что будет иметь место (d) (М. И. Кадец). Подробнее об этом см., например, в [14]. — Прим. ред.
Глава 13 НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Введение
13.1. Определения. В этой главе иод оператором в гильбертовом пространстве Я мы будем понимать линейное отображение Т, область определения которого S)(T) и область значений {образ) Si (T) являются подпространствами пространства Я.
При этом не предполагается, чго оператор T ограничен или непрерывен. Конечно, если оператор T непрерывен (относительно топологии в S) (T), индуцированной нормой пространства Я), то он может быть продолжен до непрерывного оператора на замыкании S)(T) подпространства S)(T), а потому и до непрерывного
оператора на Я, ибо подпространство S) (T) дополняемо в Я. В этом случае оператор T является сужением некоторого оператора из ®(Н).
График % (T) оператора T в пространстве Я—это подпространство пространства Я X Я, состоящее из всех упорядоченных пар \х, Tx}, где X пробегает S)(T). Очевидно, что оператор S является расширением оператора T [т. е. S)(T) cz S)(S) и Sx=Tx для всех X 6 S)(T)} тогда и только тогда, когда $ (Г) cz $ (S). Последнее включение мы часто будем записывать в более простой форме:
<1) T cz S.
Оператор в Я называется замкнутым, если его график является замкнутым подпространством пространства HxH'. По теореме о замкнутом графике оператор T принадлежит SS (H) тогда и только тогда, когда он замкнут и S)(T) = H.
Мы хотим теперь сопоставить оператору T сопряженный в смысле гильбертова пространства (или, короче, гильбертов сопряженный) оператор Т*. Естественно при этом стремиться к тому, чтобы область определения S)(T*) оператора Т* состояла из всех у ? H1 для которых линейный функционал
<2) x — (Tx, у)
непрерывен на S)(T). Если вектор у?Н обладает этим свойством, то по теореме Хана—Банаха функционал (2) продолжается до не-
370 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
которого непрерывного линейного функционала на пространстве H1 и потому существует такой вектор у* ? Н, что
(3) (Tx1 у) = (xt і/*) (X ? ® (T)).
Естественно было бы считать, что Т*у = у*; однако вектор у*, удовлетворяющий условию (3), определяется вектором у однозначно в том и только в том случае, когда область определения S (T) оператора T всюду плотна в пространстве H (в этом случае мы иногда будем говорить, что оператор T плотно определен). По этой причине мы определяем гильбертов сопряженный Т* лишь для тех операторов T1 области определения которых всюду плотны в Н. Область определения S)(T*) оператора Т* состоит из всех у Z H1 для которых функционал (2) непрерывен на S)(T)1 а значение Т*у оператора Т* в точке у ? S) (T*) однозначно определяется условием
(4) (Tx1 у) = (X1 Т*у) (X Є S) (T)).
Шаблонная проверка показывает, что S)(T*) является подпространством пространства H и что оператор Т* линеен г).
Обычные алгебраические операции над неограниченными операторами следует производить с осторожностью, следя при этом за областями определения. Вот естественные определения суммы и произведения таких операторов2):
(5) S)(S + T)-S)(S) ПS) (T)1 (S + T)x = Sx + Tx1
(6) S)(ST)=[x?S)(T): TxZS)(S)], (ST)X = S(Tx).
13.2. Теорема. Пусть S1 T и ST—плотно определенные операторы в H. Тогда
(1) T*S* с= (ST)*. Кроме того, если S ? ZB (H), то
(2) T*S* = (ST)*.
Отметим, что включение (1) означает, что оператор (ST)* является расширением оператора T*S*. Равенство же (2) включает
1J Заметим, что если 7 ?<$?(#), то данное здесь определение оператора 7* совпадает с определением п. 12.9; в частности, при этом S[T*) —H и Т* Z & (H). —Прим. перев.
2) Заметим, что при этом выполняются обычные законы ассоциативности (/?-f S) + T = R + (S + T) и (RS) T = R (ST). Что же касается законов дистрибутивности, то один из них сохраняет обычный вид (R-\-S) T — RT-\-ST, а другой, вообще говоря, справедлив лишь в ослабленной форме T (R + S) ZD ZD TR-{-TS, ибо вполне может случиться, что (R S) х ? S)(T), в то время как один из векторов Rx и Sx не принадлежит S (T). Отметим еще, что когда а — скаляр, оператор аТ определяется так: если а —0, то S) (<%Т) —II и 0:7==0; если же а Ф 0, то S) (oJ) S) (T) и (аТ) х — а (Tx) при X Z S (T). — Прим. перев.
ГЛ. 13. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 371
13.3. Определение. Оператор T в гильбертовом пространстве // называется симметрическим, если
(1) , (Tx, у) = (х, Ту)
для всех X и у из S) (T). Таким образом, симметрические операторы с всюду плотными областями определения — это в точности те операторы Т, для которых
(2) T cz Т*.
