Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(2) и = (Т-П)(Т + Н)~\
причем любой унитарный оператор U, спектр которого не содержит точку 1, может быть получен таким способом.
Теперь мы продолжим эго соответствие Т<г+и до взаимно однозначного соответствия между классом всех симметрических, операторов и некоторым классом изометрий.
Пусть T — симметрический оператор в пространстве И. Теорема 13.16 показывает, что
(3) И Tx + Ix ||2 = У X |р -І- Il Tx ||2 = Il Tx-Ix |р (je G S) (T)).
Поэтому существует изомегрия U с областью определения и образом
(4) S)(U) = Si (T-{-H) и Si(U) = Sl(T-H)
соответственно, определяемая формулой
(5) U (Tx + ix) = Tx — ix (XGS)(T)).
380 часть 3. банаховы алгебры и спектральная теория
Поскольку оператор (Т-\-И)~1 взаимно однозначно отображает S)(U) на S)(T), оператор U можно записать также в виде
(6) и = (Т — Н)(Т + И)~1.
Оператор U называется преобразованием Кэли оператора Т. Его основные свойства собраны в теореме 13.19. С помощью преобразования Кэли мы получим простое доказательство спектральной теоремы для самосопряженных (не обязательно ограниченных) операторов.
13.18. Лемма. Пусть U — изометрический оператор в пространстве Н, т.е. Il Ux У = II X Il для всякого x?S)(U).
(a) Если x?S)(U) и у ? S) (U), то (Ux, Uy) = (X, у).
(b) Если подпространство Si(I — U) всюду плотно в Н, то оператор I — U инъективен.
(c) Если хотя бы одно из подпространств S)(U), Si(U) и (U) замкнуто, то два других тоже замкнуты.
Доказательство. Справедливость утверждения (а) следует, например, из любого из тождеств, приведенных в упр. 2 гл. 12. Для доказательства утверждения (Ь) предположим, что x?S)(U) и (/ — U) X = 0, так что x — Ux. Тогда
(х, (I-U)y) = (x, у)-(х, Uy)-^(Ux, Uy)-(X, Uy) = O
для всякого y?S)(U). Таким образом, х\_Si(I — U), а так как Si. (I — U) всюду плотно в Н, то х = 0. Доказательство утверждения (с) оставляем читателю в качестве упражнения. Щ
13.19. Теорема. Пусть U—преобразование Кэли симметрического оператора T в пространстве Н. Тогда справедливы следующие утверждения:
(a) Оператор U замкнут тогда и только тогда, когда замкнут оператор Т.
(b) Si(I — U) = S)(T), оператор I—U инъективен, и оператор T может быть восстановлен по U при помощи формулы
T = i(I + U)(I-U)-K
(Следовательно, преобразования Кэли двух различных симметрических операторов не совпадают.)
(c) Оператор U унитарен тогда и только тогда, когда оператор T самосопряжен.
Обратно, если V—такой изометрический оператор в пространстве Н, что оператор I—V инъективен, то V является преобразованием Кэли некоторого симметрического оператора в пространстве Н.
Доказательство. По теореме 13.16 оператор T замкнут тогда и только тогда, когда подпространство Si(T-[H) замкнуто.
ГЛ. 13. неограниченные операторы 381
(9) (Т* + H) у = (T+ U) IJ0 = (T* + H) у0
(последнее равенство выполняется по той причине, что TdT*). Если у у = у—у0, то yLGS)(T*) и для всякого XGS)(T)
(10) ((T- і 1)х, Уі)^(х, (Т*+П)Уі) = (х, 0) = 0.
Таким образом, Ij1^Sl(T-H)=Sl(U) ^H, так что ^1 = O и у = у0 G®(T).
По лемме 13.18 замкнутость оператора U равносильна замкнутости •его области определения S) (U). Отсюда следует справедливость утверждения (а), ибо по определению преобразования Кэли S) (U) = Sl(T-I-if). Формулы
(1) Z = Tx+ix, Uz = Tx—ix (T))
устанавливают взаимно однозначное соответствие x<r->z между подпространствами S)(T) и S) (U) = Sl (T + Н). Ясно, что
(2) (I — U)z = 2ix, (I + U)z = 2Tx.
Отсюда следует, что оператор / — U инъективен и Sl(I — U) = = S)(T), т. е. оператор (/ — U)'1 взаимно однозначно отображает S)(T) на S)(U), и что
(3) 2Т* = (1+ U)Z = (I+ U)(I-U)-1 (2ix) (X G S) (T)).
Этим доказано утверждение (Ь).
Предположим теперь, что оператор U самосопряжен. Тогда по теореме 13.13
(4) Sl(I H-T2) = H. Так как
<5) (T + H) (T-H) = I + T2 = (T-H) (T + H)
(все три оператора имеют своей областью определения подпространство S) (T2)), то из (4) следует, что
(6) S)(U) = Sl(T + H) = H и
(7) Sl(U)=Sl(T-H) = H.
Так как оператор U изометричен, то в силу (6) и (7) он унитарен (теорема 12.13).
Для завершения доказательства утверждения (с) предположим, что оператор U унитарен. Тогда из утверждения (Ь) и нормальности оператора /—U следует (см. теорему 12.12), что
(8) [Sl (I-U)]1 = Л (I-U) = \0\,
так что подпространство S)(T) = Sl(I — U) всюду плотно в Н. Поэтому определен сопряженный оператор Т* и TcT*.
Фиксируем уGS)(T*). Так как Sl(T + H) = S)(U) = H, то существует такой вектор у0 G S) (T), что
382
ЧАСТЬ 3. RAHAXODbI АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Следовательно, Т* <zz Т, и утверждение (с) доказано.
Наконец, пусть оператор V удовлетворяет условиям, указанным в формулировке обратного утверждения теоремы. Тогда формула
(11) х-= Z-Vz
определяет взаимно однозначное соответствие z<r*x между подпространствами S)(V) и ZA (I—V). Определим оператор S на подпространстве S)(S)-ZA(I—V), полагая
(12) Sx = i (z + Vz), если х-= z—Vz.
Если X^S(S) и уZS(S), то x — z—Vz и у = и—Vu для некоторых ZZS(V) и и ZS(V). Так как оператор V изометричен, то из утверждения (а) леммы 13.18 следует, что
