Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
у* (х) = (х, уу*) (X Z Н, у* ^H*)
(см. п. 12.5). Доказать, что Н* является гильбертовым пространством относительно скалярного произведения
Определим отображение ф: H**—> H*, полагая
2** (у9) = [у*, ф2**] (у* Z #*> Z** Z H**)-
Показать, что я|чр осуществляет изоморфизм между H** и H и что наличие этого изоморфизма означает рефлексивность пространства Н.
5. Пусть —такая последовательность единичных (т. е. таких, что-||#и||-—1) векторов пространства Н, для которой
Г«= 2 I (и/, «/)!«< оо.
I ф 1
Доказать, что тогда для любой последовательности {а,-} комплексных чисел
(1-г) 2 і «<т
i = m
(1+Г) 2 I «/I
п
Вывести отсюда, что следующие свойства последовательности {а,-} эквивалентны:
(a) 2 I«/ Iа < «>; г=)
OO
(b) ряд 2 0W сходится по норме И\
1=1
(с) ряд 2 ai(uh У) сходится при каждом уZН.
Совокупность этих утверждений служит обобщением теоремы 12.6.
6. Пусть E — разложение единицы (см. п. 12.17). Доказать, что
\ Ex, у (to) \^Ех>х(ф) Еу, у (со) для всех xZH> yZH и w^SJt.
7. Пусть U — унитарный оператор из & (H) и є > 0. Доказать, что если о (U)— собственное подмножество единичной окружности, то можно так по* добрать константы ос0, ап, что будет выполняться неравенство
Il U-1—O0/—OL1U-а„?У«11 < е.
ГЛ. 12. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 365
Вместе с тем если о (U) заполняет всю единичную окружность, то ни при каком выборе констант аг- норма указанной разности не может быть сделана меньше 1.
Примечание. Первое утверждение можно извлечь из теоремы 12.26, но* есть и более элементарный путь. Найдите его.
8. Доказать теорему 12.35 с заменой UP на PU.
9. Пусть T-UP — полярное разложение обратимого оператора TG^ (H)-Доказать, что T нормален тогда и только тогда, когда UP = PU.
10. Доказать, что каждый обратимый нормальный оператор T?33 (H} есть экспонента от некоторого нормального оператора .S?tg?(#).
11. Предположим, что оператор N?dB (H) нормален, а оператор Т?<$ (H) обратим. Доказать, что оператор TNT-1 тогда и только тогда нормален,, когда W коммутирует с Т*Т.
12. (а) Если операторы S?c®(#) и T ? & (H) нормальны, причем ST = = TS, то операторы S~\-T и ST также нормальны.
(b) Если дополнительно S^O и T^O (см. п. 12.32), то S-j-ToO и ST 2^0.
(c) Показать, что могут, однако, существовать такие операторы S^O и 71ISsO, что оператор ST не является нормальным (разумеется, при этом ST ф TS). Такой пример можно указать уже в случае dim H = 2.
13. Для нормального оператора Т?<Ш(Н) доказать, что T*= UT с подходящим унитарным оператором U. В каких случаях оператор U определяется однозначно?
14. Доказать, что оператор T ?&9 (H) будет компактным, если компактным является оператор Т*Т.
15. Построить некомпактный оператор T?<?(H), для которого Т2~0* Может ли такой оператор быть нормальным?
16. Рассмотреть нормальный оператор Т?&(Н), спектр о (T) которого конечен. Описать оператор T по возможности наиболее полно.
17. Показать, что при выполнении условия (d) теоремы 12.29 уравнение Ту = х имеет хотя бы одно решение в том и только в том случае, если
2 1М-21|*;112 <<». 1=1
(Если Ki=O при некотором і, то соответствующее Xi считается равным 0.)
18. Спектр о (T) каждого оператора Т?&(Н) можно разбить на три подмножества:
точечный спектр ор(Т), состоящий из всех тех А?С, для которых оператор T — KI имеет нетривиальное ядро;
непрерывный спектр ос(Т), состоящий из всех тех Я?С, для которых оператор T—KI инъективно отображает H на всюду плотное подмножество, не совпадающее с Н;
остаточный спектр сг(Т), включающий все остальные К?о(Т).
(a) Доказать, что остаточный спектр каждого нормального оператор» Т?&(Н) пуст.
(b) Доказать, что если пространство H сепарабельно, то точечный спектр каждого нормального оператора Г^сЭ(Я) не более чем счетен.
366
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
(с) Пусть Sr и Si — правый и левый сдвиги (описанные в упр. 1 гл. 10), действующие в гильбертовом пространстве /2 (односторонних последовательностей).
Доказать, что (Sr)* = Si и что у
op(SL) = or(SR) = {h |Я|< 1}, Oc(Sl) = ос (Sr) = [K: \К\ = 1), or(SL) = op(SR) = 0.
19. Пусть Sr и Si — те же операторы. Доказать, что ни тот, ни другой не обладают полярным разложением UP с унитарным U и P 5э0.
20. Пусть (.і — положительная мера на некотором пространстве Q и H = L2 ((х) с обычным скалярным произведением
u
Для каждой функции ф??°° (jx) определим оператор умножения M9 по формуле Мф(/) = <рЛ Тогда МФ?<$(Я).
При каких условиях на ф оператор Л4ф обладает собственными значениями? Привести пример, когда а (М9)=ас (M9). Показать, что оператор M9 нормален. Как связаны между собой а (M9) и множество существенных значений функции ф? Показать, что отображение ф—>-Мф есть изометрический *-изоморфизм алгебры L°° (ja) на некоторую замкнутую подалгебру А .алгебры (H). (Некоторые патологические меры jx здесь надо исключить.) Будет ли алгебра А максимальной коммутативной подалгеброй в ей? (Я)? Указание. Если T?<83 (H) YiTM9 = M9T для всех ф??°° (ц.) и если |л(й)<оо, то оператор T совпадает с оператором умножения на T (1) и поэтому Г?Л.
