Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(b) Если A ^ 0, то существует единственный самосопряженный оператор В ^ 0, для которого В'2 = А.
Доказательство. Доказательство утверждения (а) столь похоже на доказательство теоремы 12.32, что мы его опускаем. Предположим, что A ^ 0, так что о (Л) cz [0, оо), и
QO
(1) (Ax,y) = \idEx,y(l) (х ? S) (А), у ? П),
о
где S) (А) = {х Є Н: J t2dEx> х< оо J (интеграл берется по лучу [О, оо)). Пусть s(t)— неотрицательный квадратный корень из t ^ 0; положим B = W(S), так что
CC
(2) (Bx, y) = \s (I) dEx, у (t) (X ?S)?, у ^ Я).
о
Если f=g = s, то S) f„ cz S)g, и по свойству мультипликативности (утверждение (Ь) тсорЪмы 13.24) получаем, что В'2 = А. Так как функция s вещественна, то оператор В самосопряжен (утверждение (с) теоремы 13.24), а так как s (/)^0, то, полагая в соотношении (2) X = у, получаем, что BZ^O.
Чтобы доказать единственность, предположим, что С—самосопряженный оператор, С ^ О, С2 —Л, и Ес—его спектральное разложение:
со
(3) (Cx, у) = dEi 9 (S) (X ? S) (С), у € H).
о
Применяя теорему 13.28 к функции f(t)=t на множестве Q' = — [0> оо), отображению <p: H = [0, оо)—^y = [O, оо), ср(s)=s2, и
394
часть 3. банаховы алгебры и спектральная теория
разложению единицы E',
(4) E' (ср (со)) = Ес (со) для со с Q = [О, оо), получаем
со со
(5) (Ах, у) = (С2х, у) ^ J s*d?j, „ (.s) = J „ (/).
о о
Соотношения (1) и (5) и утверждение единственности из теоремы 13.30 показывают, что Е' = Е. В силу (4) разложение единицы E однозначно определяет разложение единицы Ес, а потому и оператор C-H
При доказательстве спектральной теоремы 13.33 мы будем пользоваться следующими свойствами нормальных операторов.
13.32. Теорема. Пусть N— нормальный оператор в пространстве И. Тогда
(a) S)(N) = S(N*);
(b) Il NxIl = Il N*x Il для всякого x?S(N);
(c) N является максимальным нормальным оператором.
Доказательство. Пусть у Z S (N*N) — S (NN*); тогда Ny?S (N*), так что (Ny, Ny) = (у, N*Ny); аналогично N*y Z S(N), а так как N** = N (теорема 13.12), то (N*y, N*y) = (y, NN*y). Поскольку N*N = NN*, отсюда следует, что
(1) \\Ny\\ = \\N*y\\ для всех у ZS(N*N).
Фиксируем теперь XZS(N). Пусть N' — сужение оператора N на подпространство S(N*N). По теореме 13.13 точка \х, Nx\ принадлежит замыканию графика оператора N'. Поэтому существуют такие векторы //,• Z S (N*N), что
(2) \\Уі—х\\—^0 при і—>со и
(3) I] Nyі—И—>0 при і—юо.
Согласно (1), К N*y(—N*yy|| = ||Ny1—Nyj\\, поэтому из (3) следует, что {N*y{\—последовательность Коши в пространстве Н. Значит, существует такой вектор z Z Н, что
(4) И N*yt—z|[—>0 при i—><x>.
Поскольку оператор N* замкнут, из (2) и (4) следует, что {х, z\ Z% (N*).
Из этого мы заключаем, во-первых, что х Z S (N*), так что S (N)aS (N*), и, во-вторых, что
(5) II N*x У = И г И = lim || N*tM1| = lim || Ny1 \\ = \\ Nx ||.
Это доказывает утверждение (Ь) и одно из двух включений, со-
гл. із. неограниченные операторы
395
сгавляющих утверждение (а). Для доказательства второго включения заметим, что оператор Af* тоже является нормальным (поскольку N** = N), так что
(6) s> (A/*) cz S) [N**)=т (N).
Наконец, предположим, что оператор M нормален и что NdM. Тогда М* CiN*, так что
(7) S) (M) = S) (M*) с:S) (N*) = S) (N)ciS) (M),
и потому S)(M) = S)(N); таким образом, M = N. ?
13.33. Теорема. Для каждого нормального оператора N в пространстве H существует единственное спектральное разложение Е, удовлетворяющее соотношению
<1) (Nx, у)= \ XdEx,v(l) (X^S)(N), уZH).
a (N)
Кроме того, E (со) S = SE (со) для всякого борелевского множества (ucig(N) и всякого оператора S Z ЗВ (H), коммутирующего с оператором N в том смысле, что SNaNS.
Из соотношения (1) и теоремы 13.24 следует также, что E(Lo)NaNE (со).
Доказательство. Наша первая цель состоит в том, чтобы найти такие самосопряженные проекторы P1 с попарно ортогональными образами, чтобы операторы NP1 были нормальными и выполнялись бы условия P1NaNPiZSB(H) и X = ^P1X для всякого XZH. Затем применение спектральной теоремы для ограниченных нормальных операторов к операторам NP1 приведет к требуемому результату.
По теореме 13.13 существуют такие операторы В Z 3B(H) и CZdB(H), что ?>0, ||Д||<1, C = NB и
(2) B(I + N*N) a I - (/ -f N*N) В.
Так как N*N = NN*, то из (2) следует, что <3) BN-^BN(I + N*N) B = B(I + N*N) NBaNB = C
Таким образом, BC = B(NB) = (BN)BaCB. Так как операторы BmC ограничены, отсюда следует, что ВС = CB, и потому оператор С коммутирует с любой ограниченной борелевской функцией от оператора В (см. п. 12.24).
Выберем такую числовую последовательность {I1), что 1=^0> > > t2 > ... и Hm ^1-= 0. Для всякого і ^ 1 обозначим через pt характеристическую функцию полуинтервала (/,-, /,•_,] и положим fi(t) = Pi(t)/t. Каждая из функций f{ ограничена на спектре o(?)cz[0, 1] оператора В. Пусть E8—спектральное разложение
396 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
для оператора В. Соотношение (2) показывает, что оператор В' инъективен, так что 0 не является его собственным значением.. Следовательно, Ен({0}) — 0 и разложение единицы ^сосредоточено на полуинтервале (0, 1]. Положим
