Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Сделайте это также с помощью явного построения решений указанных задач.
8. (а) Доказать, чго оператор T в пространстве L2 (R), действующий по формуле Tf = if' и имеющий в качестве области определения S)(T) множество всех абсолютно непрерывных функций f?L2, для которых f'?L2, является самосопряженным.
Указание. Может понадобиться тот факт, что / (/)—>-0 при /—у ± со для всякой функции [GzS)(T). Докажите это. Или докажите более сильное утверждение, состоящее в том, что всякая функция f ?S) (T) является преобразованием Фурье некоторой функции из L1 (R).
(Ь) Фиксируем функцию g?L'2(R). Используя теорему 13.13, доказать, что уравнение
имеет единственное абсолютно непрерывное решение f?L2, для которого производная /' абсолютно непрерывна, f'?L2 и f"?L2. Доказать также с помощью прямого вычисления, что
X ос
/(*)=-у j et-*g(t)dt-±-§e*-*g(t)dt.
— со к
Это решение может быть также найдено с помощью преобразования Фурье.
9. Пусть H2 — пространство всех голоморфных функций / (г) — ^ с„гп в открытом единичном диске, удовлетворяющих условию
п = 0
Показать, что H2 является гильбертовым пространством, изоморфным пространству Г2, причем изоморфизм может быть определен с помощью соответствия / <-> {сп).
Определим оператор V?&(H~), полагая (Vf) (z) — zf (г). Показать, что оператор V является преобразованием Кэли симметрического оператора T
ГЛ. 13. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
409>
d пространстве II2, действующего по формуле
(T П (z) = »]±?/(z).
Найти образы операторов Т-\-И и T— И; показать, что один из них совпадает с H2, а другой имеет коразмерность 1. (Сравните с примером 13.21.)
10. В пространстве H2 из предыдущего упражнения определим оператор V, полагая
(V/) (Z) = Zf(Z*).
Показать, что оператор V изометричен и является преобразованием Кэли замкнутого симметрического оператора T в пространстве H2, имеющего индексы дефекта 0 и со.
11. Доказать утверждение (с) леммы 13.18.
12. (а) Как связаны между собой операторы ^(/) + ^(^) и ^if + e) в ситуации, описанной в теореме 13.24?
(b) Доказать, что если функции / и g измеримы, причем функция g ограничена, то оператор W (g) отображает подпространство ^ в себя.
(c) Доказать, что W (/) — W (g) тогда и только тогда, когда f = g почти всюду \Е], т. е. когда
Е({р: f (р) (р)}) = 0.
13. Является ли оператор С, построенный в доказательстве теоремы 13.33, нормальным?
14. Доказать, что каждый нормальный оператор N в пространстве /7, ограниченный или нет, допускает полярное разложение
N = UP = PU,
где оператор U унитарен, а оператор P самосопряжен и Р^О. Кроме того, S(P) = S(N).
15. Доказать следующее обобщение теоремы 12.10: если T Z с® (H), a M и N—такие нормальные операторы в пространстве Н, что TM a NT, то TM* CZ N*T.
16. Допустим, что T—такой замкнутый оператор в пространстве Н, что S(T) = S(T*) и И TxII = II И для всех x?S(T). Доказать, что оператор T нормален. Указание: начниге с доказательства равенства
(Tx, Ту) = (Т*х,Т*у) (xZS(T), yZS(T)).
17. Доказать, что спектр о (T) любого оператора T в пространстве H является замкнутым подмножеством комплексной плоскости С. (См. определение 13.26.) Указание: если 5Z^ (H) и STaTS-I, то при малых |Я| оператор S(I — 1KS)-1 ограничен и является обратным к оператору T—kl.
18. Пусть ф(/)=схр(—t2). Определим в пространстве L2 = L2(R) оператор 5 Z & (L2) формулой
(Sf) (/) = ф (/)/(^-1),
так что (S2f) (t) = ф (/) ц> (I—1)/(/—2) и т. д. (Заметим, что формула, определяющая оператор S, задает также его полярное разложение S--- PU.) Найти оператор S*. Показать, что
ПДЧ-ар)-'"-0,^"+0} (,.-!,2,3,
-410
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Показать, что оператор S инъективен, его образ (S) всюду плотен в L2, -а спектр гт (S) = JO}.
Введем огератор T с областью определения <Э (T) = ,<% (S), полагая
TS/ = / (f?L*).
.Доказать, что спектр a (T) этого оператора пуст.
19. Пусть T1, T2, T3 — операторы, рассмотренные в примере 13.14, пусть
S)(TJ = IfZg)(T1): /(O) = O},
и T4/- if для всех IZS) (Ti). Доказать следующие утверждения:
(a) Каждое кZC принадлежит точечному спектру оператора T1.
(b) Спектр о (T2) оператора T2 состоит из всех чисел вида 2дл, где п — любое целое число; точечный спектр этого оператора совпадает со всем его спектром.
(c) Для всякого А.?С подпространство M(T3—AV) имеет коразмерность 1. Поэтому 0"CTg) = C Точечный спектр оператора T3 пуст.
(d) Спектр о (Tц) оператора Г4 пуст.
Указание: изучите дифференциальное уравнение if—Xf = g.
Эти факты показывают, насколько спектр дифференциального оператора чувствителен к его области определения (r данном случае — к выбору граничных условий).
20. Показать, что если dim#=oo, то всякое непустое замкнутое подмножество комплексной плоскости С является спектром некоторого нормального оператора в пространстве Н.
21. Определим в пространстве Z,2 = Z,2(R) унитарные операторы Q (/)?сЗ (L2)> полагая
IQ(O Л (S) = /(s + 0-
Показать, что {Q (t)\ удовлетворяет условиям, перечисленным в определении 13.34. Найти инфинитезимальный производящий оператор полугруппы {Q (0}> включая явное описание его области определения и его спектра. (Здесь можно воспользоваться теоремой Планшсрсля.)
