Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
п
X = Y1I) ... [JYnU П V7-CZK1 UU Kn(JUP,
с= і
что противоречит утверждению (Ь). Щ
A3. Теорема Тихонова. Декартова произведшие X любого непустого семейства компактных пространств Ха является компактным пространством.
Доказательство. Пусть ла (х) обозначает Ха -координату точки х ? X; тогда, по определению, топология произведения в X есть слабейшая из топологий, относительно которых все отображения яа: X—*¦ Ха непрерывны (см. п. 3.8). Пусть ?f'а—совокупность всех множеств вида эт—!(V0,), где Va — любое открытое подмножество пространства Ха. Тогда объединение всех ff а является предбазой топологии произведения в X.
Предположим, что Iі — некоторое ^-покрытие пространства X. Положим Га = Г П о?а- Допустим (с целью получить противоречие), что ни одно из семейств Га не покрывает пространства X, Тогда для любого а найдется такая точка ха ? X , что семейство Га не покрывает ни одной точки множества л^1 (?). Пусть х?Х—такая точка, что лЛ(х)—ха для всех а; тогда точка х не покрывается семейством Г. Это, однако, противоречит тому, что Г является покрытием пространства X.
Таким образом, хотя бы одно из семейств Г покрывает пространство X.
Так как пространство Ха компактно, то некоторое конечное подсемейство
семейства Га покрывает пространство X. Поскольку Га CZ Г, отсюда следует,
Что покрытие Г обладает конечным подпокрытием, и из георемы Александсра вытекает, что пространство X компактно. ?9
A4. Теорема. Если К-—замкнутое подмножество полного метрического пространства X, то следующие свойства, эквивалентны:
(a) множество К компактно;
(b) всякое бесконечное подмножество множества К имеет в К предельную точку,
(c) множество К вполне ограничено.
414
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Напомним, что (с) означает, что для всякого є > 0 множество К можно покрыть конечным числом шаров радиуса е.
Доказательство. Предположим, что множество К компактно. Если E — такое бесконечное подмножество множества К, что ни одна точка из К не является предельной для Е, то существует такое открытое покрытие {Va\
множества К, всякий элемент которого Va содержит не более одной точки множества Е. Поэтому покрытие {V«} не имеет конечных подпокрытий, что противоречит компактности К. Таким образом, из (а) следует (Ь).
Предположим, что множество К обладает свойством (6). Пусть d—метрика в пространстве X. Фиксируем е > 0 и точку X1 ? К. Допустим, что точки X1, хп множества К таковы, что d (х,-, XJ)^s при і j= j. Если это возможно, выберем точку xn + i ?К так, чго d (х{, Xn+1)^e при 1 ^n. Из свойства (Ь) следует, что этот процесс должен оборваться после некоторого конечного числа т шагов. Тогда шары радиуса є с центрами в точках X1.....хт покрывают множество К. Таким образом, из (Ь) следует (с).
Предположим, что множество К вполне ограничено; пусть Г—его открытое покрытие. Допустим (с целью получить противоречие), что покрытие Г нс имеет конечных подпокрытий. По свойству (с) множество К является объединением конечного числа замкнутых множеств, имеющих диаметры 1. Одно из этих множеств, скажем К\, не может быть покрыто конечным числом элементов семейства Г. Повторим это рассуждение с заменой множества К множеством Kx и т. д. В результате мы получим такую последовательное^ замкнутых множеств К і, что
(i) KZDK1ZDK2ZD
(ii) diam Kn ^
(iii) ни одно из множеств Kn не может быть покрыто конечным числом множеств, принадлежащих Г.
Выберем хп ? Kn. Из (і) и (ii) следует, что \хп}—последовательность Коши, которая (поскольку пространство X полно, а каждое из множеств Kn^ замкнуто) сходится к некоторой точке л: ? Л ^Ch- Ho х ? V для некоторого V ? Г, и из (ii) следует, что Kn(ZzV, если п достаточно велико, а это противоречит свойству (iii). Таким образом, из (с) следует (а). Ц
Заметим, что полнота пространства X была использована лишь при переходе от (с) к (а). Свойства (а) и (Ь) в действительности эквивалентны для любого метрического пространства.
А5. Теорема Асколи. Пусть X—компактное пространство, С (X)—банахово пространство всех комплексных непрерывных функций на X с sup-нормой, а ФсС (X) — поточечно ограниченное равностепенно непрерывное семейство-функций, т. е.
(a) sup {I / (х) |: f ? Ф} < оо для всех х ? X,
(b) для всякого к > О каждая точка х ? X имеет такую окрестность Vt что I f (у) — f (х)\ < 8 для всех у ? V и всех J ? Ф.
Тогда множество Ф вполне ограничено в пространстве C(X).
Следствие. Так как пространство С (X) полно, то замыкание множества Ф компактно и всякая последовательность функций из Ф содержит равномерно сходящуюся подпоследовательность.
Док азательство. Фиксируем є > 0. Так как пространство X компактно, то условие (Ь) показывает, что существуют такие точки X1, ..., хп?Х и такие их окрестности V1, Vn соответственно, что X= (J Vj и
(О |/(*)-№)1<е (/€ф> x?Vl> К*<л).
Из условия (а) и неравенства (1) следует, что множество Ф равномерно ограничено:
(2) sup {|/ (х) |: X G X, } ? Ф\ = М < да.
КОМПАКТНОСТЬ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
415
Положим D = {Я Z С- I A. I ^/W} и сопоставим каждой функции / ? Ф точку P (/) € Dn CZ С", полагая
