Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(11) M1Ax — M1 Um АЕх — lim MeAtx=Atx.
?->0 Є->o
Если теперь XnZ^(A)1 хТ1—>х и Axn—>у при п—>oo, то Atx Mty, поскольку равенство (H) показывает, что A1Xn=M1Axn. Так как M^j—^y при / > 0, то отсюда следует, что xZS(A) и Ax = у. Таким образом, оператор А замкнут и утверждение (Ь) доказано.
Предположим теперь, что XZS(А). Тогда для всех tf>0
(12) AEQ(t)x=Q(t) AEx—*Q(t) Ax при є—>O, так что Q(I)XZS(A) и
(13) AQ (t)X= Q(t) Ах. Умножая соотношение (11) на t, мы получаем, что
t
(14) ^ Q (s) Axds= Q (t)x—x.
о
Так как, согласно утверждению (а), подынтегральная функция Q (s) Ax непрерывна, то производная этого интеграла по t существует и равна Q (t) Ах. Вместе с равенством (13) это доказывает справедливость утверждения (с).
Переходим к доказательству утверждения (d). Если xZS(A} и 0 < s < г\ то утверждение (с) показывает, что
js [ехр {(r-s) Аа\ Q (s) X] - ехр \(l-S) АЕ\ Q (s) (Ax-A8X)9
а так как
( Q (t)x, если S = t, ^W-»)A.iQ(s)x = x если s = 0>
ГЛ. ІЗ. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
403
ТО
Q (t) х—exp (Me) х = \ exp {{t—s) Ае} Q (s) (Ах—Аех) ds.
о
Согласно неравенствам (4) и (5), норма подынтегральной функции не превосходит величины
уехр {(t—s) у} Y1+' I] Ax-A6X II,
так что
(15) \\Q{t)x — exp(tAe)x\\^K{t)\\Ax—AtX\\,
где К—возрастающая непрерывная функция на [0, оо).
Чтобы завершить доказательство, фиксируем t0 > 0 и положим
(16) 5(/, E) = Q (0—ехр(Ме) (/>0, 0<є<1).
Из неравенств (4) и (5) следует существование такой постоянной K0 < оо, что
(17) \\S(t, c)IKK0 (00<е<1).
Если же x0 ? X и у] > 0, то найдется такой вектор x?S)(A),
что
(18) [J X-X0JKJk
Из неравенств (15), (17) и (18) следует, что
Il S (t, є) X0 |К Il 5 (/, є) X Il + Il S (t, е) И Il х-х0 И < </С (Z0) II Ax-Агх IH-T1
при O^ ? ^r0. Так как х?.@(Л), то мы в конце концов получаем, что для всех достаточно малых є
(19) II Q (0*о—exp (M8) X01|< п (0<*<*о). и доказательство окончено. Щ
Теперь естественно спросить, в каких случаях можно удалить из формулировки утверждения (с!) знак предела, т. е. при каких условиях справедливо экспоненциальное представление Q (t) = = exp (tA). Следующие две теоремы дают ответы на этот вопрос.
13.36. Теорема. Если {Q (t)\ — полугруппа операторов, удовлетворяющая условиям п. 13.34, то следующие три условия эквивалентны:
(a) S)(A) = X;
(b) lim И Q(e)-/1| = 0;
(c) гА?®(Х) и Q(t) = etA (0<*<oo).
Доказательство. Мы будем пользоваться теми же обозначениями, что и в доказательстве теоремы 13.35.
404
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ II СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Если выполняется условие (а), то из теоремы Банаха — Штейнгауза следует, что для всех достаточно малых положительных е нормы операторов Лк ограничены в совокупности. Так как Q (є) — / — єЛє, то отсюда следует, что выполняется условие (Ь).
Если выполняется условие (Ь), то верно также, что || M1—/ || —> O при /—S-0. Фиксируем столь малое / > 0, что оператор Mt обратим в 33 (X). Так как MtAs = A1M^, то
(1) Ле= (Mt)-1AtMt.
Это соотношение показывает прежде всего, что предел Л* = lim А?х
<:->0
существует для всякого х?Х (ибо Msx —>X при E- >0 и (Mt)-* Af ?33 (X)), а также что A = (M1)-1 At и, наконец, что
(2) Il ЛР-Л|]<||(М,)-М<II II ME-IIl0 при в — О.
Теперь из утверждения (d) теоремы 13.35 вытекает справедливость равенства Q (t) = exp (tA), поскольку из (2) следует, что
(3) lira I) exp (IAe)—exp (tA) j| = 0 (0 < / <оо).
?->0
Таким образом, из (b) следует (с).
Импликация (с) => (а) тривиальна. Щ
Наша последняя теорема относится к гильбертовым пространствам.
13.37. Теорема. Предположим, что {Q (t): 0^/<оо| — полугруппа нормальных операторов Q (t) ?33(H), удовлетворяющая условию непрерывности
(1) lim Il Q (t)x—x Il = 0 (х?Н).
Тогда ее инфинитезимальный производящий оператор А является нормальным оператором в пространстве Н, существует такая постоянная у<оо, что ReX =?!у для всех Х?а(А), и, наконец,
(2) Q(t) = etA (0</<оо).
Если все операторы Q (t) унитарны, то в пространстве H существует такой самосопряженный оператор S, что
(3) Q(t)- = eiiS (0</<оо).
Последнее утверждение этой теоремы, относящееся к унитарным полугруппам, составляет содержание классической теоремы М. Стоуна.
Примечание. Хотя S)(A) может быть собственным подпространством пространства //, операторы еіл определены на всем пространстве И и ограничены. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим спектральное разложение ЕА оператора Л (теорема 13.33).
ГЛ. 13. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
405
Так как \ea\^.elv для всех X ?а (Л), то функциональное исчисление, построенное в теореме 12.21, позволяет нам определить ограниченные операторы е1Л формулой
(4) etA = J eadEA(X) (0<*<оо).
a {A)
Теорема 13.37 допускает простое обращение: если оператор Л нормален и существует такое -у<оо, что ReX^v для всех X 6 о" (Л), то формула (2) определяет полугруппу нормальных операторов {Q(t)\, удовлетворяющую условию (1), поскольку из теоремы Лебега об ограниченной сходимости следует, что для всякого X G H
(5) \\Q{t)x-x\\*~ \ \e^-\\*dEAx(X)-*0
О (А)
при / —> 0.
Доказательство. Так как операторы Q (s) и Q (г) коммутируют, то из георемы 12.16 следует, что операторы Q (s) и Q (t)* тоже коммутируют. Поэтому наименьшая замкнутая подалгебра алгебры SB(H)1 содержащая все операторы Q(O и все операторы Q(O*» является нормальной. Пусть А — ее пространство максимальных идеалов, a E—соответствующее разложение единицы (см. теорему 12.22).
