Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(3) P(/) = (H*i), .... /(*«))•
Так как Dn можно представить как объединение конечного числа множеств с диаметрами < к, то найдутся такие функции /ь .... fm ? Ф, что для всякой функции / ? Ф точка р (/') менее чем на є удалена от некоторой точки p(fk).
Если f Z Ф> то существует такое k (1 что
(4) U(*i)-M*i)l <в (1<'<п).
Каждая точка л; ? X содержится r некоторой окрестности V,-, и для этого номера і
<5) |/(*)-/(*,-)1<« и |/*(*)-fft(*,-)| <е.
Таким образом, | / (х) — fk {х) | < Зє для всех х X.
Поэтому Зв-шары с центрами в точках ^1, ... , frn покрывают множество Ф. Так как е было выбрано произвольно, то множество Ф вполне ограничено. В
А6. Секвенциальная непрерывность. Отображение / хаусдорфова пространства X в хаусдорфово пространство Y называется секвенциально непрерывным, если lim l(xn)=f(x) для любой последовательности Ixn} в X, удо-
влетворяющей условию Hm хп=х.
/z-х»
Теорема, (а) Всякое непрерывное отображение f: X —»- Y секвенциально непрерывно.
(Ь) Если для каждой точки пространства X существует счетная локальная база (в частности, если пространство X метризуемо), то всякое секвенциально непрерывное отображение f: X —>- Y непрерывно.
Доказательство, (а) Предположим, что Xn—>х в пространстве X. Пусть V— окрестность точки f (х) в пространстве Y, a U ^f-1 (V). Так как отображение f непрерывно, то U является окрестностью точки х, и потому Xn Z U для всех п, за исключением, быть может, конечного числа. Следовательно, f (хп) ? V для всех «не исключительных» значений п. Таким образом, f (хп) —> / (х) при п —> оо.
(Ь) Фиксируем точку X Z Х> и пусть {Un} — счетная локальная база топологии пространства X в этой точке. Допустим, что отображение f в точке X не является непрерывным. Тогда существует такая окрестность V точки f (х) в пространстве Y, что ее прообраз f~l(V) не является окрестностью точки х. Следовательно, найдется такая последовательность точек
\хп}, что Xn Z Un* —*х при п—)-оо и хп (р (V). Но тогда f (хп) V, так что отображение I не является секвенциально непрерывным. Щ
А7. Вполне несвязные компактные пространства. Топологическое пространство X называется вполне несвязным, если всякое непустое связное его подмножество состоит из единственной точки.
Напомним, что множество E cz X называется связным, если не существует таких открытых множеств V1, V2, что
EcZV1[JV2, E П V1 ф 0, E П V2 ф 0, но ? Л V1 П V2 = 0.
Теорема. Пусть К—компонента1) компактного хаусдорфова пространства X, а V—открытое множество в X, содержащее множество К. Тогда
) См. лемму 10.16.— Прим. перев.
416
ПРИЛОЖЕНИЕ А
в пространстве X существует такое компактное открытое множество А, что-К С A czV.
Следствие. Если X—вполне несвязное компактное хаусдорфово пространство, ти компактные открытые подмножества образуют базу его топологии.
Доказательство. Пусть Г — совокупность всех компактных открытых подмножеств пространства X, содержащих множество К. Так как X Z Г> ти Г ?= 0- Пусть H— пересечение всех множеств, принадлежащих Г.
Предположим, что W — открытое множество, содержащее множество //. Тогда дополнения множеств, принадлежащих Г, образуют открытое покрытие дополнения множества W. Так как дополнение множества W компактно, а семейство Г замкнуто относительно образования конечных пересечений входящих в него множеств, то отсюда следует, что A cz W для некоторого A Z Т.
Мы утверждаем, что множество H связно. Чтобы убедиться в этом, предположим, чго H = H0 (J H1, где H0 и H1 — непересекающиеся компактные множества. Так как множество К связно и содержится в Н, то оно содержится в одном из множеств //(,, H1; пусть, скажем, К CZ H0. По лемме Урысона существуют такие непересекающиеся открытые множества W0, Wx, что H0 CZ W0 и H1 CZ W1. Из рассуждений предыдущего абзаца следует, что A CZ W0 U W1 для некоторого А ? Г. Положим A0-A f\ W0. Тогда К CZ A0,
причем множество A0 открыто и компактно, поскольку A f\ W0-А Г\ W0. Таким образом, A0 ? Г, так что H CZ A0. Отсюда следует, что H1 = 0.
Итак, множество H связно. Поскольку множество К является компонентой пространства X, a H Z) К, мы видим, что H = K. Применяя рассуждение второго абзаца доказательства к множествам К и V вместо HnW, получаем, что A CZ V для некоторого А ? Г. Щ
Приложение В
ПРИМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ
Абстрактное направление в анализе, развившееся позднее в предмет,, известный теперь под названием функциональный анализ, возникло в начале века благодаря деятельности Вольтсрра, Фредгольма, Гильберта, Фреше и Ф. Рисса (мы упоминаем лишь некоторые из главных имен). Они изучали интегральные уравнения, задачи о собственных значениях, ортогональные разложения и вообще линейные операции. Конечно, не случайно, что в то. же время зародилась теория интеграла Лебега.
Аксиомы нормированного пространства появились в работе Ф. Рисса' о компактных операторах в пространстве С (fa, b]) (Acta Math., 41 (1918), 71—98), но первое абстрактное изложение предмета содержится в диссертации Банаха 1920 г. (Fund. Math., З (1922), 133—181). Чрезвычайно важной была книга Банаха [4], опубликованная в 1932 г. Она содержит материал, до сих пор составляющий самую существенную часть теории банаховых пространств, однако с некоторыми пропусками, которые с нашей «выигрышной позиции» кажутся странными 1J.
