Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Один из таких странных пробелов—полное отсутствие комплексных скаляров, несмотря на наблюдение Винера (Fund. Math., 4 (1923), 136—143), заметившего, что указанные аксиомы с тем же успехом могут быть сформулированы, над полем С и (еще важнее) что можно построить теорию голоморфных функций со значениями в банаховом пространстве, в общих чертах очень похожую на классическую теорию комплексных голоморфных функций. В этом отношении почти ничего не было сделано вплоть до 1938 г. (см. помещенные в этом приложении примечания к гл. 3).
В историческом плане еще более обескураживает трактовка Банахом слабой сходимости, несомненно являющейся одним из наиболее важных его вкладов в предмет. Несмотря на бурное развитие топологии в двадцатые годы, а также на то, что фон Нейман явно описал слабые окрестности» в гильбертовом пространстве и в алгебрах операторов {Math. Ann., 102 (1930), 370—427), Банах работает лишь со слабо сходящимися последовательностями. Поскольку присоединение к данному множеству пределов всех его слабо сходящихся подпоследовательностей не обязательно приводит к секвенциально слабо замкнутому множеству (см. упр. 9 гл. 3), Багіах вынужден был привлекать такие сложные понятия, как трансфинитное замыкание, но совершенно не пользовался значительно более простой и удобной концепцией слабой топологии.
Следующий ниже перечень «странностей» книги Банаха [4] (и некоторых других классических работ) вызывает недоумение. Можно ли ставить в упрек создателю новой теории то, что он разработал ее не в максимально возможной общности, пользовался не самыми простыми техническими приемами и' не построил «заодно» еще одну'новую теорию?! Прим. перев.
14 JVsSTi
418
ПРИЛОЖЕНИЕ В
В книге Банаха иногда делается излишнее предположение о сепарабельности. Так же обстоит дело с принятой фон Нейманом (Math. Ann., 102 (1930), 49—131) аксиоматикой гильбертова пространства: условие сепарабельности включено в определение. В этой фундаментальной работе о неограниченных •операторах доказана спектральная теорема, обобщающая полученную Гильбертом более чем на 20 лет раньше спектральную теорему для ограниченных операторов. Важный вклад в теорию операторов был также сделан в 1932 г. М. Стоуном D его книге 132].
Хотя непрерывные функции, понятно, играют в книге Банаха важную роль, он рассматривает для них лишь структуру векторного пространства; они не перемножаются. Однако пренебрежение мультипликативной структурой продолжалось не так уж долго. В работе о тауберовых теоремах (Ann. Math., 33 (1932), 1—100) Винер установил и использовал мультипликативное неравенство || ху \\ <; || х || || у || для нормы в банаховом пространстве абсолютно сходящихся рядов Фурье. Обобщение аппроксимационной теоремы Всйерштрасса, предложенное М. Стоуном (Trans. Amer. Math. Soc, 41 (1937), 375—481, особенно стр. 453—481), несомненно, является наиболее известным примером явного использования кольцевой структуры в пространстве непрерывных функций. Интерес фон Неймана к теории операторов, возникший в связи с квантовой механикой, привел его к систематическому изучению операторных алгебр. М. Нагумо (М. Nagumo, Jap. J. Math., 13 (193G), 61—80) начал изучение абстрактных нормированных колец. Однако действительное продвижение вперед в этой области связано с открытием И. М. Гельфандом важной роли максимальных идеалов коммутативной банаховой алгебры и с его конструкцией, известной теперь под названием преобразования Гельфанда (Матем. сб., 9 (1941), 3—24).
До середины сороковых годов интересы специалистов по функциональному анализу были сфокусированы почти исключительно на изучении нормированных пространств. Первой основной работой по общей теории локально выпуклых пространств была работа Ж. Дьедонне и Л. Шварца (J. Dieudonne, L. Schwartz, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 1 (1949), 61—101). Одной из главных побудительных причин развития этой теории послужило построение Л. Шварцем теории распределений [45] (первое издание этой книги появилось в 1950 г.). Шварц (так же, как Банах и Гельфанд) имел предшественников. Как отмстил С. Бохнер в своей рецензии на книгу Шварца (S. Bochner, Bull. Amer. Math. Soc., 58 (1952), 78—85), идея «обобщенных функций» восходит по меньшей мере к Риману. Эта идея была применена в книге Бохнера «Лекции об интегралах Фурье» (Физматгиз, 1962; первое (немецкое) издание вышло в Лейпциге в 1932 г.), которая сыграла весьма важную роль в развитии гармонического анализа. Работам" Шварца предшествовали также работы С. Л. Соболева. Но именно Шварц превратил все в очень мощный и плавно действующий аппарат, который оказался пригодным для многих приложений, особенно к уравнениям в частных производных.
Более подробное освещение истории некоторых разделов функционального анализа можно найти в следующих обзорных статьях:
F. F. Bonsall, A survey of Banach algebra theory, Bull. London Math. Soc., 2 (1970), 257—274;
E. R. Lorch, The structure of normed abelian rings, Bull. Amer. Math. Soc, 50 (1944), 447—463;
Т. H. Hildebrandt, Integration in abstract spaces, Bull. Amer. Math. Soc., 59 (1953), 111—139;
