Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(4) Pi-P1[B) (?-1, 2, 3, ...)-
Так как р.ру = 0 при іф], то образы проекторов P1 взаимна ортогональны. Так как 2 Pf совпадаете характеристической функцией полуинтервала (0, 1J, то
со
(5) 2 PiX = E"((Q1 l])x = x (X Є Н).
Поскольку pi (t) — tfi (t), имеем
(6) NPi = NBf і (В) = Cf і (В) ? 33 (H), и в силу (3) PiN = fi(B)BNczfi(B)C, так что
(7) PiN cz NР{.
Согласно (6), S)(NPi) = H, так что
(8) Si(Pi)CZeD(N) (J=I1 2, 3, ...).
Поэтому из (7) следует, что если PiX = X, то P[Nx = NPiX = Nx*. Таким образом, оператор N отображает подпространство Si, (P1) в себя, т. е. Si (Pi) является инвариантным подпространством оператора N.
Теперь мы хотим доказать, что каждый из операторов NPt является нормальным. Из включения (7) и теоремы 13.2 следует,, что
(9) (NPi)* cz (PiN)* = N*Pt.
Но NPi ?33 (H), так что оператор (NPf)* определен на всем пространстве Н. Поэтому
(10) (NP;)* = N*Pi,
и в силу (8) и (10) теорема 13.32 показывает, что
(11) \\NPix\\ = \\N*Pix\\ = \\(NPi)*x\\ (X ^H).
По теореме 12.12 отсюда следует, что оператор NPi нормален. Вместе с соотношениями (5), (6) и (7) это показывает, что наша первая цель достигнута.
По теореме 12.23 каждый из операторов NP{ обладает спектральным разложением E', определенным на всех борелевских подмножествах комплексной плоскости С.
Так как подпространство Si(Pi) инвариантно относительно» оператора N, то проектор P1 коммутирует с оператором NP^.
гл. 13. неограниченные операторы 397
Поэтому для всякого борелевского множества g)CrC проектор E1 (со) коммутирует с проектором Ph так что
(12) E'» P1X = P1E' (со) к G °Л (P,-) (XGH, 1-=1,2,3,...).
Так как образы проекторов P1 попарно ортогональны, а из (5) следует, что
(13) S К E' (CD) P1xH2 < 2 И P^c И» = И* |р, t=i i' = i
то ряд 2 (0O Л* для всякого X G Я сходится по норме пространства Я; это позволяет для любого борелевского множества (HCiC определить оператор
OO
(H) E (со) = 2 E1» Pr
(= і
Легко проверить, что E является разложением единицы. Следовательно, существует нормальный оператор М, определенный соотношением
(15) (Mx, y)=^XdEx,y(X) (xG®(M), у GH), где область интегрирования есть С, а
(16) S) (M) = {х GH: ^\Х\* dEXt х (Х)< оо) .
Мы покажем теперь, что M = N, и тем самым будет доказана возможность представления (1).
Для всякого X G H соотношение (14) показывает, чго
(17) Ex х (©) = И Е(о,) X |р = 2 И E' (u)) P1XII2 = 2 Ex. х (со),
1=1 (=\ " 1
где X1 = P1X. Если xG®(N), то PjNx = NP1X, так что
(18) 2 S IЯ I2 dEx х (X) = 2 Il NP1X1 [р = 2 Il PiNx И» = Il Л/х |р. I=i г=1 I=i
Из равенств (17) и (18) следует, что для всякого xG®(N) интеграл, участвующий в определении (16) подпространства S)(M),. конечен. Поэтому
(19) S) (N)Cz® (M).
Если XGSi(P1), то X = P1X, и потому E (а>)х = Е! (а) х; таким образом, ЕХіУ = ЕХгу для всякого у GH. Стало быть,
(Nx, у) = (NP1X, у) = ]х dEi у (X) = \ X dEx% и (X) = (Mx, у). Следовательно,
(20) P1Nx = NP1X = MPjX (X G (N); i=\, 2, 3, ...).
398 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Поэтому если Qi = P1+ ... + Р» то QjNx = MQ1X. Таким образом,
(21) {Q1X, QiNx)SS(M) (х?3>(N); i=\, 2, 3, ...).
Так как график S(M) замкнут, то из (5) и (21) следует, что {х, Nx) (E S (M), т. е. Nx = Mx для всякого xZ@)(N). Учитывая включение (19), получаем, что NdM, откуда в силу максимальности оператора N (теорема 13.32) следует, что N = M.
Это дает нам представление (1) с той лишь разницей, что вместо g (N) в нем пока участвует С. Однако из утверждения (с) теоремы 13.27 следует, что разложение единицы E в действительности сосредоточено па g(N).
Чтобы доказать единственность спектрального разложения Е, рассмотрим оператор
(22) T = N (I+Vl^N)'1,
где yN*N—единственный положительный квадратный корень из оператора N*N. Если справедливо представление (1), то из теоремы 13.24 следует, что
(23) T = ^dE,
где у(Х) = К](\ + \К\), так чт0 Т?33(Н), а так как фукция ср взаимно однозначно отображает С на открытый единичный диск, то из теоремы 13.28 следует, что спектральное разложение Ет оператора T связано с разложением единицы E соотношением
(24) Е(со)=Ет(у(ы))
(здесь coczC—любое борелевское множество). Поэтому единственность Ет (теорема 12.23) влечет за собой единственность Е. Наконец, предположим, что S Z 33 (H) и SNdNS. Положим
Q-^=Qn=E(M), где со = {К; \К\<п), а п — некоторое положительное целое число. Тогда оператор NQ допускает представление
(25) NQ = J fdE,
где f (K) = K на со и f(K) = 0 вне со, и потому является нормальным и принадлежит 33(H). Из теоремы 13.28 следует, что спектральное разложение E' для оператора NQ удовлетворяет условию E' (со) = Е (/-1 (со)), или
r E'(ю) = E (ana) —QE (а), если 0 ^ со,
E' ({0)) = E ({O) U (С\со")) = E ({0)) +1 - Q.
Поэтому
(27) E (CO) = QE(Io) = QE' (со), соссо.
ГЛ. 13. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
399
Из теоремы 13.24 следует, что QNcNQ = QNQ, так что
(28) (QSQ) (NQ) = QSNQ czQNSQ с(NQ) (QSQ).
Так как (QSQ) (NQ) ? ZB (H), то включения (28) в действительности являются равенствами. Поэтому из теоремы 12.23 следует, что оператор QSQ коммутирует с каждым из проекторов E' (со). Рассмотрим любое ограниченное борелевское множество со и
