Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
,(И) J I fn |» dEgt , = $ I ф„ I * d?„ (Q)
при всех /г. Поэтому z?S)f, и соотношение (4) доказано.
Наконец, так как S) ff с S)Jt то с помощью свойства мультипликативности соотношение (5) легко выводится из соотношения (4). ¦
Замечание. Если функция g ограничена, то S)fgcS)g -(просто потому, что S)g=H), так что х? (f)x? (g) = W (fg). Мы воспользовались этим при доказательстве равенства (12). Предыдущее равенство показывает также, что
(15) V (g) V (f) с: ? (/) У (g),
ибо V (g) ^ (/) cz ?(#/)== 1F(Zg). Если g—характеристическая функция измеримого множества to cz Q, то (15) принимает вид
<16) ?(w)^(/)cz?(f)E(co).
Отсюда следует, что если х ^ S)fn Si (E Uo)), то
(17) ? (to) XF (/) x = V (f) E (со) x = W (f) ж.
Таким образом, оператор Ч1" (f) отображает подпространство iZ^M 5i (? (со)) в подпространство St (E {(.о)).
Сравните это с замечаниями об инвариантных подпространствах в п. 12.27.
13.25. Теорема. В ситуации, описанной в теореме 13.24, подпространство S)f совпадает с H тогда и только тогда, когда f ?L-(E).
Доказательство. Предположим, чго S) f = Н. Так как оператор 1Y (f) замкнут, то из теоремы о замкнутом графике следует, что V (f) ^ 95 (H). Если /П = /Фл — срезка функции /, то из свойств мультипликативности в сочетании с теоремой 12.21 следует, что
Il fn Il сс = Il 1V (fn) I) Н| ? (П V (фя) И < Il V (f) И ,
поскольку И W (фй) И = И ф„ IU < 1. Таким образом, || ЛІ « < Il ^ (/) Il и f ?L°° (E). Обратное утверждение содержится в теореме 12.21.?
13.26. Определение. Резольвентным множеством линейного оператора T в пространстве H называется множество всех таких Я 6 С, для которых оператор T—Я/ взаимно однозначно отображает подпространство S)(T) на все пространство Н, причем обратный оператор (T-1KI)-1 принадлежит SB(H).
гл. 13. неограниченные операторы
389
Другими словами, оператор T—AJ должен иметь обратный оператор S ? 33(H), удовлетворяющий условиям
S(T-XI) с (T-XI)S = L
Например, теорема 13.13 утверждает, что если оператор T плотно определен и замкнут, то точка —1 принадлежит резольвентному множеству оператора Т*Т.
Как и в случае ограниченных операторов, спектром о (T) оператора T называется дополнение к его резольвентному множеству.
Некоторые свойства спектра неограниченного оператора описаны в упражнениях 17—20.
Напомним, что фигурирующее в следующей теореме множество существенных значений функции относительно заданного разложения единицы было определено в п. 12.20.
13.27. Теорема. Пусть E—разложение единицы на множестве Q, /: Q—>-С—измеримая функция, и
toa = {p?Q: /(Р) -«}
(a) Если а. принадлежит множеству существенных значений функции / и Е((.да)ф0, то оператор W(J)—а/ не инъективен.
(b) Если а принадлежит множеству существенных значений функции /, но E (соа) = 0, то оператор W (/) взаимно однозначно отображает подпространство f на некоторое собственное всюду плотное подпространство пространства H и в H существует такая последовательность векторов \хп\, что Цхп||=*1 и
Hm [V{J)xn-oxn] =0.
п -> 00
(c) Спектр o(W(f)) оператора W (/) совпадает с множеством •существенных значений функции /.
В соответствии с терминологией, употреблявшейся ранее для ограниченных операторов, мы можем сказать, что точка a в случае (а) принадлежит точечному спектру оператора W (f), а в случае (Ь) она принадлежит непрерывному спектру этого опера-гора. Если некоторое a ?С обладает свойствами, перечисленными в выводах утверждения (Ь), то иногда говорят, что a является аппроксимативным собственным (или почти собственным) значением оператора W(f).
Доказательство, (а) Не ограничивая общности, мы можем считать, что а = 0. Если ?(«„)=^0, то существует такой вектор X0 ? Я (E (CO0)), что Ii X0 !I = 1. Пусть ср0 — характеристическая функция множества oD0. Тогда /ф0 = 0, так что по свойству мультипликативности W(J)W(^) = Q. Поскольку W (<р0) = Е (со0), отсюда
390 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
следует, ЧТО
V (/) *о - v (/) E (CO0) X0 = W (/) W (Фо) X0 = 0.
(b) Снова считаем, что а = 0. Условия состоят теперь в том,, что E (CO0) = 0, но E ((On) Ф 0 при л= 1,2,3, ... , где
<on = {p?Q: |/(P)K-I}.
Выберем вектор XnZM (E(соп)) так, чтобы ||XnJJ=I; пусть ц>п— характеристическая функция множества со,,. По тем же соображениям, которыми мы воспользовались при доказательстве утверждения (а),
II v (F) *п Il = Il у (ton) *п IK II v (Лр„) Il = Il /ф„ IU < I -
Таким образом, W (/) Xn —у 0, хотя || Xn || — 1. Если ? (/) X = 0 для некоторого x?eDf, то
$|Л»гі?я,л = 0.
Отсюда следует, что должно выполняться условие EXi х (H) == 0,, ибо I /1 > 0 почти всюду относительно меры EXtX. Но ЕХл х (ІЇ) = = ||X||2, так чго х = 0. Поэтому оператор W (/) инъективен.
Аналогично доказывается инъективность оператора W (f)*—W(f). Если г/ J_ (Y (/)), то функционал х —> (W (/) х, у) = 0 непрерывен на ®/f так что */Є <2> (Y (/)*) и
(*, v (7) у) = CP (/) Jf, у) = 0 (x € Щ.
Таким образом, W(f)y = 0t и из ипъективностн оператора ?(/) следует, что у = 0. Это показывает, что подпространство M(W(J)) всюду плотно в Я.
