Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
<2) Il {а, Ь\ ||2Н[а|[2 + |И|в.
Положим
(3) V {a, b) = {—b, а) (а?Н, b?H).
Тогда V—унитарный оператор в пространстве HxH, удовлетворяющий условию V'2 = — / Таким образом, V2M = M для любого подпространства M пространства HxH.
С помощью этого оператора можно дать весьма любопытное описание оператора Т* в терминах оператора Т.
13.8. Теорема. Если T—плотно определенный оператор в пространстве H, то
О) $ (T*) = [V& (Г)]-1,
где справа стоит ортогональное дополнение подпространства V^(T) в пространстве HxH.
Отметим, что область значений любого оператора и сам оператор однозначно восстанавливаются по его графику.
Доказательство. Очевидно, что каждое из следующих четырех утверждений эквивалентно каждому из своих ближайших «соседей»:
(2) \у,
<3) (Tx, у) = (х, г) для каждого х ? S) (T);
<4) ({—Tx, х\, {у, г}) = () для каждого x?S)(T);
<5) {у, Z]Z[VS(T)]K
Эквивалентность (2) и (5) как раз и составляет содержание теоремы. Hl
13.9. Теорема. Если T — плотно определенный оператор в Н, то оператор Т* замкнут. В частности, самосопряженный оператор замкнут.
Доказательство. Ортогональное дополнение M1 любого подпространства McHxH замкнуто. Поэтому из теоремы 13.8 следует, что график ^ (T*) оператора Т* замкнут в HxH. Щ
13.10. Теорема. Если T—замкнутый плотно определенный оператор в Н, то
HxH = VV(T)Q)Z(T*),
причем справа стоит прямая сумма ортогональных подпространств.
Доказательство. Если подпространство # (T) замкнуто, то подпространство V$ (T) тоже замкнуто, поскольку оператор V
ГЛ. 13. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
375
унитарен. Поэтому из теоремы 13.8 следует, что V& (T) — [S (T*)]-1; см. теорему 12.4. Ц
Следствие. Если T—плотно определенный замкнутый оператор в Я, то для любых а, Ь Z Я система уравнений
имеет единственное решение \х, у), х Z S) (T), уZS(T*).
R следующей теореме приводятся некоторые условия, приг выполнении которых симметрический оператор оказывается самосопряженным.
13.11. Теорема. Пусть T — симметрический плотно определенный оператор в пространстве Я.
(a) Если S)(T) = H, то оператор T самосопряжен и ограничен.
(b) Если оператор T самосопряжен и инъективен, то его образ M(T) всюду плотен в H и оператор Т~г самосопряжен.
(c) Если образ M(T) оператора T всюду плотен в Я, то оператор T инъективен.
(d) Если fA (T) = Я, то оператор T самосопряжен и инъективен, a T-1ZSS(H).
Доказательство, (а) По предположению TaT*. Поэтому ясно, что если S(T) = H, то T = T*. Следовательно, оператор T замкнут (теорема 13.9) и, согласно теореме о замкнутом графике* непрерывен. (Можно было также сослаться на теорему 5.1.)
(Ь) Пусть У 1_М(Т). Тогда функционал х—> (Tx, у) = О непрерывен на S(T), так что у Z S) (T*)-= S> (T) и (х, Ту) = = (Tx, у) = 0 для всех X Z(T). Таким образом, Ty=O. Так как оператор T по предположению инъективен, то отсюда следует, что у = 0. Поэтому подпространство Si (T) всюду плотно в Я.
Следовательно, T"1 — оператор со всюду плотной областью определения S (T-1) — M (T), так что существует сопряженный к нему оператор (T'1)*. Легко проверить, что выполняются соотношения
(1) <§(T-1)-VS (—T) и У^(Т-^ = Ъ(— Т).
Так как оператор T самосопряжен, то оператор —T тоже самосопряжен. Применяя теорему 13.10 к операторам1) T"1 и —Т, получаем ортогональные разложения
-Тх + у = а, х-\- Т*у = Ь
(2)
и
(3)
HxH V$(—T)&$(—T) = $ (T-1)фVa (T-1).
) В силу (1) оператор T-1 замкнут. — Прим. перев.
376
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Следовательно,
(4) V ((F-1)*) = [W (T-1)]1 = V {T-1),
так что (Г-1)* = Г-1.
(c) Допустим, что Tx = O. Тогда (х, Ty) = (Tx, у) = 0 для всякого у ? @) (T). Таким образом, # JL •5? (T), и потому х = 0.
(d) Так как 91 (T) == Я, то из утверждения (с) следует, что оператор T инъективен, причем S) (T-1) = Н. Если х ? H и */ ? Я, то X = Tz и у= Tw для некоторых г ? <2) (Г) и о; Є (Г), так что
(7-1%, 0) = (2, Tw) = (Tz, w) = (x, T-Hj).
Поэтому оператор T'1 симметричен, и из утверждения (а) следует, что он самосопряжен (и ограничен), а тогда в силу (Ь) оператор T = (T-1)-1 тоже самосопряжен. Щ
13.12. Теорема. Если T—плотно определенный замкнутый оператор в Н, то область определения S) (T*) оператора Т* всюду плотна в H и T** —Т.
Доказательство. Так как оператор V унитарен и V2 = — /, то теорема 13.10 дает ортогональное разложение
(1) HxH = V(T)OVZ(T*).
Предположим, что z_\_S>(T*). Тогда (z, у) = 0 для всех у ? ?@)(Т*), и потому для всех таких у
(2) ({0, z\, {-Т*у, у\) = 0.
Таким образом, {0, z\ ? [VV (T*)]1 —¦ V (T), откуда следует, что z —¦ T (0) = 0. Поэтому подпространство S) (T*) всюду плотно в Н, так что определен оператор T**.
Применяя теорему 13.10 к оператору T*, получаем
(3) HxH = VV (T*)©V (T**). Из (1) и (3) следует, что
(4) V (T**) = [VV (T*)]1 = V(T), откуда Т** = Т. ¦
Мы увидим сейчас, что операторы вида Т*Т обладают интересными свойствами. В частности, область определения такого оператора S) (Т*Т) не может быть очень маленькой.
13.13. Теорема. Пусть T — плотно определенный замкнутый оператор в пространстве Н, и пусть Q=I + Т*Т. Тогда справедливы следующие утверждения:
