Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(13) (Sx, у) = і (z Vz, и —Vu)-і (Vz, u) — i(z, Vu) =
= (z — Vz, iu + iVu)—-(x, Sy).
Следовательно, оператор 5 симметричен. Так как соотношения (12) можно переписать в виде
(14) 2iVz = Sx—ix, 2iz = Sx+ix (z Z S (V)), то мы видим, что
(15) V(Sx+ ix) = Sx—ix (X Z S (S))
и что S (V) = ZA (S+ H). Поэтому оператор V является преобразованием Кэли оператора 5. Щ
13.20. Индексы дефекта. Если U1 и U2—преобразования Кэли симметрических операторов T1 и T2, то ясно, что T1CzT2 тогда и только тогда, когда U1CiU2. Поэтому задача о симметрических расширениях симметрических операторов сводится к (более простой) задаче о расширениях изометрий.
Например, всякая изометрия U с областью определения S(U) расширяется (единственным образом) до изометрий, определенной на замыкании подпространства S (U). Поэтому из утверждения (а) теоремы 13.19 следует, что каждый симметрический оператор в пространстве H обладает замкнутым симметрическим расширением.
Рассмотрим теперь замкнутый и плотно определенный симметрический оператор T в пространстве Н, и пусть U —его преобразование Кэли. Тогда подпространства Zd(T+ H) и ZH (T — H) замкнуты и U является изометрическим отображением первого из них на второе. Размерности ортогональных дополнений этих двух подпространств называются индексами дефекта оператора Т. (Размерность гильбертова пространства — это, по определению, мощность любого его ортонормированного базиса.)
ГЛ. 13. неограниченные операторы
383
Так как мы сейчас предполагаем, что подпространство Si(I— U)-S)(T) всюду плотно в Я, то для любого изометрического расширения U1 оператора U подпространство Si(I — U1) всюду плотно в Я, так что оператор / — U1 инъективен (лемма 13.18) и оператор U1 является преобразованием Кэли некоторого симметрического расширения Г, оператора Т.
Следующие три утверждения являются простыми следствиями этих замечаний и теоремы 13.19; в них мы по-прежнему предполагаем, что оператор T замкнут, симметричен и плотно определен.
(a) Оператор T самосопряжен тогда и только тогда, когда оба его индекса дефекта равны 0.
(b) T является максимальным симметрическим оператором в том и только в том случае, когда хотя бы один из его индексов дефекта равен 0.
(c) Оператор T тогда и только тогда обладает самосопряженным расширением, когда два его индекса дефекта равны.
Доказательства утверждений (а) и (Ь) очевидны. Чтобы убедиться в справедливости утверждения (с), достаточно воспользоваться утверждением (с) теоремы 13.19, заметив при этом, что всякое унитарное расширение оператора U должно изомстрично отображать подпространство [Si(T \ H)]- па подпространство
13.21. Пример. Пусть V—правый сдвиг в пространстве /2. Тогда V является изометрией, а оператор / — V инъективен (гл. 12, упр. 18), так что оператор V является преобразованием Кэли некоторого симметрического оператора Т. Так как S)(V) = I2, а подпространство Si(V) имеет коразмерность 1, то индексы дефекта оператора T равны 0 и 1.
Таким образом, мы построили пример плотно определенного замкнутого максимального оператора T, не являющегося самосопряженным.
Разложения единицы
13.22. Обозначения. Пусть Я — гильбертово пространство, Ш—некоторая о-алгебра подмножеств некоторого множества Q и Ei Ш—> 33 (H)—разложение единицы в смысле определения 12.17. Функциональное исчисление, описанное в теореме 12.21, сопоставляет каждой функции /^L00 (E) оператор W (/) ? 33 (H), определенный формулой
Теперь мы распространим это исчисление на неограниченные изме-
[9L(T-U)]K
(1)
384 часть 3. банаховы алгебры и спектральная теория
римые функции / (теорема 13.24). Мы будем пользоваться обозначениями, введенными в определении 12.17,
13.23. Лемма. Пусть /: Q—5>C—измеримая функция. Положим
(1) <2>,= {*€Я: ^\f\*dEx, х< со} .
Тогда S)f является всюду плотным подпространством пространства Н. Если х?Н и у?Н, то
(2) l\f\d\EXtV\<\\y\\ A'l/j2^ Л 1/2.
Если функция f ограничена и v — W (/) z, то
(3) dEx,v = JdEXtZ (X ? И, z Є И).
Доказательство. Если z = x~Yy и w?9Jc, то
||?(о>)г||*<(||?(о))х|| + ||Я(со)у||)«<2||Я(о))л|И + 2|| Е(с*)у\\\ или
(4) Ex, z (to) < 2Ex, х (со) + 2Еу, v (со).
Это показывает, что множество S)f замкнуто относительно сложения. Замкнутость его относительно умножения на скаляры проверяется еще проще. Таким образом, S) f—подпространство пространства Н.
Для каждого натурального п обозначим через со„ подмножество множества Q, состоящее из всех точек, в которых J/1 < я. Если X ? 31 (E (Ci)n)), то
(5) E (со) х = Е (со) E (соп) х = E (со п соп) х, так что
(6) Ех,х(со) = Ех,х(со(]и>п) (со€Ш1), и потому
(7) \\f\*dEx,x=^ \f\»dEXtX^n*\\xW<oo.
OO
Таким образом, Si(E (соп)) cz S)f. Поскольку Q = U соп, из счет-
ной аддитивности векторной меры со—у E (со) у следует, что у= = Hm E (соп) у для всякого у€ Н, так что вектор у принадлежит замыканию подпространства S)f. Поэтому подпространство S)f всюду плотно в И.
Если х?Н и у?Н, а /—ограниченная измеримая функция на Q, то из теоремы Радона — Никодима (см. [27] или [37]) следует, что существует такая измеримая на Q функция и, для ко-
