Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(а) Оператор Т*Т самосопряжен, а оператор Q взаимно однозначно отображает свою область определения
S)(Q) = S)(T*T) = {x?S)(T): Tx?S)(T*)\
.на все пространство Н. Существует единственная пара опера-
ГЛ. 13. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 377
торов В Z 33 (H) и С Z 33 (H), удовлетворяющих условиям C=TB и
(1) B(I+ T*T)a(I+ Т*Т) B = I.
При этом Л ? |К 1, (J С" |К 1 и ?>0.
(b) Если T'—сужение оператора T на подпространство S (Т*Т), то график $ (T') оператора T' всюду плотен в $ (Т),
Здесь и далее буква / обозначает единичный оператор с областью определения Н.
Доказательство. Если xZ@>(Q)> то Tx Z S) (Г*), так что
(2) (х, X)+ (Tx, Тх)^(х, х) + (х, Т*Тх)-(х, Qx).
Поэтому II X ||2 ^ II X Il (I Qx у, и, следовательно, оператор Q инъективен. В частности, это показывает, что в 33(H) не может существовать двух различных операторов В, В', удовлетворяющих условию (1); оператор С?33(H) также однозначно определяется условием C = TB (если он вообще существует).
По теореме 13.10 для каждого h Z H существует единственная пара векторов BhZS(T) и ChZS)(T), для которых
(3) {0, h) = {—TBh, Bh}-] \Ch, T*Ch\.
Ясно, что В и С—линейные операторы в пространстве Н, причем их области определения совпадают с П. Два вектора, стоящие в правой части соотношения (3), ортогональны друг другу (теорема 13.10). Поэтому из определения нормы в пространстве H H и теоремы Пифагора следует, что
(4) \\h\\^\\Bhf + \\Chf (he H)9
так что Il В IKl и И С |К 1.
Сравнение компонент векторов, входящих в соотношение (3), показывает, что C=TB и что для всякого h Z H
(5) h - Bh + T*Ch = Bh + T*TBh = QBh.
Поэтому QB = I. В частности, оператор В инъективен, а оператор Q отображает подпространство ZTl(B)CiS(Q) на все пространство Н. Так как оператор Q инъективен, то отсюда следует, что ZH(B)-S(Q) и оператор Q взаимно однозначно отображает S)(Q) на Н, а оператор В взаимно однозначно отображает H на S)(Q). Если у Z^ (Q), то QBQy = Qy, а так как оператор Q инъективен, то BQy = y. Таким образом, BQс/, т. е. условие (1) выполняется.
Если hZH, то h=Qx для некоторого хZ@>(Q); учитывая соотношение (2), получаем
(6) (Bh, h) = (BQx, Qx)-(X, Qx) >0.
378 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Следовательно, В^О, и оператор В самосопряжен (георема 12.32). Поэтому утверждение (Ь) теоремы 13.11 показывает, что оператор Q самосопряжен, а тогда самосопряжен и оператор Q — / = = Т*Т. Таким образом, утверждение (а) полностью доказано.
Так как оператор T по предположению замкнут, то его график $ (T) является замкнутым подпространством пространства NxH и, следовательно, является гильбертовым пространством. Допустим, что вектор {z, Tz)Z1S(T) ортогонален подпространству $(Т). Тогда для каждого х Z (Т*Т) = @> (Q)
0=-((2, Tz)1 {х, Tx)) = (z, *) {- (Tz9 Tx) = (г, х) + (z, T-Tx) = (z, Qx).
Но 91(Q) = H. Поэтому Z = О, и утверждение (Ь) доказано. Ц
13.14. Определение. Симметрический оператор T в пространстве H называется максимальным симметрическим оператором, если он не имеет собственных симметрических расширений, т. е. если из условий
(1) TczS и 5 симметричен
следует, что S = T.
13.15. Теорема. Самосопряженные операторы являются максимальными симметрическим и операторами.
Доказательство. Предположим, что оператор T самосопряжен, а оператор 5 симметричен (т. е. SaS*) и что TaS. Из этого включения, очевидно, следует (по самому определению сопряженного оператора), что 5*сГ*. Поэтому
SaS* аТ* = TaS1
так что S = T. Щ
13.16. Теорема. Если T—симметрический оператор в пространстве H (не обязательно плотно определенный), то справедливы следующие утверждения:
(a) \\Tx + ix\\* = \\x\\* + \\Tx\\* (X Z @> (T)).
(b) Оператор-Т замкнут тогда и только тогда, когда подпространство 91(T-J-U) замкнуто в Н.
(c) Оператор T-\-il инъекпшвен.
(d) Если Зі (T+ U) = H, mo T—максимальный симметрический оператор.
(e) Все предыдущие утверждения остаются справедливыми, если в них заменить і на — і.
Доказательство. Справедливость утверждения (а) вытекает из тождества
Il Tx+ ix ||2 = И X И» + (I Tx ||2 + (ix, Tx) + (Tx, ix)
гл. 13. неограниченные операторы
379
и симметричности оператора Т. Из (а) следует, что
(T + H) X <-»¦ \х, Tx}
является взаимно однозначным изометрическим соответствием между образом Si (T -{-H) оператора T-{-H и графиком оператора Т; поэтому справедливо утверждение (Ь). Утверждение (с) также является непосредственным следствием утверждения (а).. Если Si (T -{-H) = H и Tx—собственное расширение оператора T (т. е. S) (T) является собственным подпространством в S) (T1)), то оператор Тх-{-Н является собственным расширением оператора T-{-H и потому не может быть инъективным. В силу (с) оператор T1 не симметричен, чго доказывает справедливость утверждения (d).
Ясно, что все доказательство проходит без изменений, если і заменить па — і. Ц
Преобразование Кэли
13.17. Определение. Отображение
устанавливает взаимно однозначное соответствие между вещественной осью и единичной окружностью с выколотой точкой 1. Поэтому функциональное исчисление, развитое в гл. 12, показывает, что каждый самосопряженный оператор T G 9В (H) порождает унитарный оператор
