Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(5) 1-У (X Z А). Мы утверждаем, что формула
(6) (a', b') = F(b*a)
¦задает скалярное произведение на AjY.
Заметим сначала, что (a', Ь') корректно определено формулой (6), т. е. результат не зависит от выбора представителей а и Ь классов смежности». Достаточно проверить, что F(b*a) = Q, ¦если хотя бы один из элементов а или Ь содержится в У. Но если aZY, то это прямо вытекает из (4). Если же bZY, то, используя утверждение (а) теоремы 11.31 и еще раз (4), снова получаем
.(7) F ф*а) = F (a*b) = 0.
Таким образом, (a', Ь') корректно определено, линейно по а' ¦и сопряженно-линейно по b'. Кроме того,
<8) (a', a') = F(a*a)^0,
так как F—положительный функционал. Если (а',а') = 0, то F(a*a) = 0. Из утверждения (Ь) георемы 11.31 вытекает, что тогда F (ха) = 0 для каждого х Z А. Поэтому a Z У и а' = 0.
Таким образом, AjY — унитарное пространство с нормой Jl а' Il = F (о*а)1/2. Пополнение H этого пространства есть гильбертово пространство, которое мы и будем дальше рассматривать.
Определим линейный оператор T (х) на AjY, полагая
(9) T (х) а' = (ха)'.
Снова легко проверяется, что это определение корректно, т. е.
3G2 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
результат не зависит от выбора а?а', ибо если y(?Y, то ху ? Y ввиду (4). (Подпространство Y является левым идеалом в Л.) Очевидно, что отображение х—>Т(х) линейно и что
(10) T (X1)T(X2) = T(X1X2) (X1 ?А,х2? А).
В частности, из (9) ясно, что T (е)—тождественный оператор на A(Y. Мы утверждаем, что
(11) Il T (X) ||< IIXIl {XZA).
Если это будет установлено, то равномерная непрерывность оператора T (х) позволит продолжить его до ограниченного линейного оператора на Н. Заметим, что
(12) \\Т (х)a' f = ((ха)', (ха)') = F(а*х*ха).
При фиксированном а?А рассмотрим функционал G (х) = F (а*ха). Очевидно, что G—положительный функционал на А и поэтому в силу утверждения (d) теоремы 11.31
(13) G (***)< G(e)\\ X ||2. Таким образом,
(14) К T (X) а' И* = G (х-х) < F (а* а) \\ х ||« = || a' f || х \\\
чем и доказано (11). Выкладка
(T (X*) а', V) = ((х*а)\ V) = F (Ь*х*а) = F ЦхЬ)* а) = (V, (xb)') -= = (а', T'(X)V) = (T'(х)*a', V)
показывает, что T (х*) а' = Т (х)* а' для всех а' ? AfY. Так как подпространство A(Y плотно в Я,-то этим доказана формула (1). Поскольку \\е'\\2 = F (e*e) = F (е)=\, из (3) и (12) получается, что
(15) Il и f = F (и*и) = Il T (и) е' И» < Il T (и) И».
Наконец, сопоставление формул_(11) и (15) дает || T (и) \\ —1| и ||. Теорема доказана полностью.
12.41. Теорема. Если А есть В*-алгебра, то существует изометрический *-изоморфизм алгебры А на некоторую замкнутую подалгебру ЗВ(Н), где H—подходящее гильбертово пространство.
Доказательство. Пусть H—«прямая сумма» гильбертовых пространств H11, построенных в теореме 12.40. Точное описание пространства H таково. Для элемента v декартова произведения пространств На обозначим через ка (v) координату этого элемента в сомножителе H11. Тогда, по определению, v?H в том и только в том случае, если
(і) 2llMf)|l2<°o,
ГЛ. 12. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 363
тде |JjtB(u)|| есть #и-норма лц (v). Сходимость ряда (1) предполагает, чго среди его членов не более счетного множества отличных or нуля. Скалярное произведение в H задается формулой
<2) (V', V) = 2 (па (v), ли (V")) (V', V" Z H)1
и
так что (I v ||2 = (v, v) совпадает с левой частью в (1). Проверку для H аксиом гильбертова пространства мы оставляем читателю в качестве упражнения.
Если SUZ*53(H11), ИS11 Кдля всех и и если Sv определить как вектор, //„-координата которого равна
(3) na(Sv) = Santt(v),
то легко проверить, что SvZH, если VZH, что S Z 33 (H) и что
(4) И S И = sup ||Se И.
и
Сопоставим теперь каждому элементу xZA оператор T (х) Z ZSS(H), определяя его условием, что
<5) пи(Т (x)v) = Tu(x)(nu(v)),
где Tn — оператор, описанный в теореме 12.40. Так как
(6) Il T11(X) ||< II X И = || Tx (X) И
по теореме 12.40, то из (4) следует, что
<7) Il T (х) Il = sup И Tn (л) И = К X И .
и
Покоординатное применение теоремы 12.40 показывает, чго ¦отображение X —> T (х) алгебры А в S3 (H) обладает и всеми остальными нужными свойствами.
Упражнения
Во всех этих упражнениях // обозначает некоторое гильбертово пространство.
1. Пополнение унитарного пространства есть гильбертово пространство. Уточнить это утверждение и доказать его. (В качестве приложения см. доказательство теоремы 12.40.)
2. Пусть N — положительное целое число, сс?С, aN = l и а2 Ф 1. Доказать, что скалярное произведение в каждом гильбертовом пространстве H удовлетворяет условиям
я=1
и
я
-я
364 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Какие вообще функции / и меры ц на множестве Q приводят к тождеству
(х, у) = J И ж+ / (р) у |р ^ (р)?
q
3. (а) Предположим, что Xn и уп принадлежат замкнутому единичному шару пространства H и (хп, уп)—»¦ 1 при п—>co. Доказать, что тогда
]\Хп—Уп]\—+0-
(Ь) Предположим, что хп?Н, хп—>х слабо и ||я:п|[—»-||а;||. Доказать,, что тогда Il хп —X || —> 0.
4. Пусть //*—пространство, сопряженное к Н. Определим отображение яр: И*—>-#, полагая
