Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
352
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
для всех Я 6 о (T), имеем
\\T—fn (T) ||<|Я,я+1|-*0 при /г-W).
Из утверждения (с) теоремы 4.18 теперь вытекает, что T — компактный оператор. Щ
12.31. Теорема. Предположим, что оператор T ? 33 (H) нормальный и компактный. Тогда
(a) T обладает собственным значением Я, для которого
1М = 1|7-||;
(b) оператор f (T) компактен, если f ZC(g(T)) и f (0) — 0.
Доказательство. Поскольку T — нормальный оператор, по теореме 11.28 найдется такое К?о(Т), что = 11741. Если Il T \\ > 0, то точка Я будет изолированной точкой в о (T) (теорема 12.30) и, следовательно (теорема 12.29), собственным значением оператора Т. Если ||7|| = 0, то утверждение (а) очевидно.
Поскольку множество о (T) не более чем счетно, его дополнение в С связно. По теореме Мергеляна (см. [27] или [9]) найдется такая последовательность полиномов р„, что рп (0) = 0 и рп равномерно сходится к / на g (T). Тогда последовательность операторов Pn(T) сходится к оператору f (T) по норме пространства fo(H), Так как рп (0) = 0, то из утверждения (f) теоремы 4.18 вытекает, что каждый из операторов prl (T) компактен. Поэтому в силу утверждения (с) теоремы 4.18 компактен и оператор f (T)2). Щ
Заметим, что для доказательства утверждения (Ь) можно воспользоваться классической теоремой Рунге вместо более трудной теоремы Мергеляна.
Положительные операторы и квадратные корни
12.32. Теорема Пусть T?58(H). Тогда
(a) (Tx, х)^0 для каждого х?Н в том и только в том случае, если
(b) T = T* и g(T) с= [0, оо).
Если оператор T Z 33 (H) удовлетворяет условию (а), то мы называем такой оператор положительным и пишем T ^ 0. Теорема устанавливает, что эта терминология согласуется с определением 11.27.
Доказательство. Вообще говоря, числа (Tx, х) и (х,Тх) являются комплексно сопряженными. Но если выполняется усло-
*) Если спектр T состоит из конечного числа точек, то T — /„(7) = 0 для достаточно большого п.— Прим. перев.
2) Нетрудно проверить, что в случае бесконечномерного пространства H условие /(O)=O на функцию / Z С (a (T)) не только достаточно, но и необходимо для компактности оператора I (T).— Прим. ред.
ГЛ. 12. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 353
1J Формально говоря, последнее неравенство устанавливает только, что ядро оператора T+ Я/ тривиально (а образ замкнут). Но так как X вещественно и (по доказанному) T = T*, то этот оператор самосопряженный. Поэтому уже из тривиальности ядра вытекает (теорема 12.10), что образ совпадает с Н.— Прим. ред.
12 я» ч'і
вие (а), ю (Tx, х) вещественно, и поэтому
(x1 Т*х) = (Tx, х) = (je, Tx)
для каждого х Z Н. Из теоремы 12.7 вытекает, что T = T*, и поэтому о (T) лежит на вещественной оси (теорема 12.26). Если Я > 0, то из (а) вытекает, что
X И x Ц2 = (ajc, X) < ((7" + Xl) х, X) < И (T + Я/) X И И а: ||.
Следовательно,
||(7+Л/)*||^Ч*И (х?Н). Поэтому оператор T + Я/ обратим1) в $?(#) и точка —Я не содержится в о (T). Тем самым условие (Ь) вытекает из (а).
Предположим теперь, что выполняется условие (Ь), и пусть E—спектральное разложение оператора Т. Тогда
(Tx, X)= $ Я dEXi х (X) (xZH).
о (T)
Так как каждая из мер EXiX положительна и так как X ^ О при X Z <у (T), то (Tx, х) ^ 0. Таким образом, из (Ь) вытекает (а). Щ
12.33. Теорема. Каждый положительный оператор T Z 33(H) обладает однозначно определенным положительным квадратным корнем S Z 33(H). Если оператор T обратим, то обратим а оператор S.
Доказательство. Пусть А —любая замкнутая нормальная подалгебра в 3d (H), содержащая операторы / и T1 и пусть А — пространство максимальных идеалов алгебры А. По теореме 11.18 имеем Л = C(A). Так как оператор T удовлетворяет условию (Ь)
теоремы 12.32 и так как a (T) = T (А), то мы видим, что T1^O. Каждая неотрицательная непрерывная функция обладает однозначно определенным непрерывным квадратным корнем. Поэтому
существует ровно один такой оператор SZ А, что S2 = T и 5^0.
По теореме 12.32 условие S^O эквивалентно условию 5^0.
Пусть, в частности, A0—наименьшая из таких алгебр Л. Тогда существует такой оператор S0ZA0, что Sl = T и S0^O. Если S—какой-то другой положительный квадратный корень из Tt то обозначим через А наименьшую замкнутую подалгебру в 33(H), содержащую / и S. Тогда TZA, так как T = S2. Поэтому A0 с: А и, следовательно, S0ZA. Результат предыдущего абзаца позволяет утверждать, что S = S0.
354 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБрЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Наконец, если оператор 7 обратим, то, поскольку операторы S и 7 коммутируют, оператор 5 обратим — обратным к нему служит оператор T-1S. Щ
12.34. Теорема. Пусть T ?33 (H). Имеется в точности один такой положительный оператор P ? 33 (H), что \\ Px\\ = || Tx\\ для всех X ? Н, а именно положительный квадратный корень из оператора 7*7.
Доказательство. Заметим сначала, что
(1) (7*7х, х) = (Tx, Tx) = I] Tx ||2 > 0 (х ? H)
и поэтому 7*7^0. [В более абстрактной ситуации теоремы 11.28 доказать аналогичный факт было гораздо труднее!J Далее, если P ?33 (H) и P Я*, то
(2) (Р2х, X) ~ (Px, Px) = И Px II2 (X ? Н).
