Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 136

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 171 >> Следующая

12.39. Теорема. Если А есть В*-алгебра и z?A, то существует такой положительный функционал F па А, что
(1) F(e) = \ и F (ZZ*) = Il z Ii2.
Доказательство. Пусть A1. («вещественная часть» алгебры А)—вещественное векторное пространство, состоящее из всех эрмитовых элементов алгебры А, и P—множество тех х ? An для которых о"(х)с[0, оо). Используя определение 11.27, можно сказать, что х?Р тогда и только тогда, когда х~^0. По теореме 11.28 множество P образует конус: если х?Р, у?Р и с—положительное вещественное число, то сх ? P и X -\-у ? Р. Далее, АГ содержит все элементы вида хх* при X Є А. Для доказательства теоремы теперь достаточно найти такой линейный (относительно вещественных скаляров) функционал f на An который удовлетворяет условиям (1) и условию
(2) f(x)^0 для всех X ? Р,
плотно в Н. Следовательно, написанное равенство распространяется на все f?H. Отсюда вытекает, что h (z0)?а (Q)1 и поэтому sup | h | || Q ||. Uo тогда Qf = M для всех так что h2 = z, и мы приходіш к противоречию, ибо
в круговом кольце нет такой непрерывной функции h.
Похожим способом удается сконструировать и другие причудливые примеры. В частности, можно указать такой ограниченный обратимый оператор M в гильбертовом пространстве, для которого при каждом k — ± 1, ±2, +3, ... есть такай оператор Т, что Tk = M, но нет такого ограниченного оператора Q, что eQ = M. Действительно, рассмотрим область D — \z: z = relt, где 0<?< со и 1 -J-2-t* + 1» < г < 1 Ь2"'}- Пусть H0-линейная оболочка сисіемьі zft и //—ее пополнение по /Лнорме (вопрос о совпадении этого пространства со всем пространством, указанным в теореме 12.38, мы не обсуждаем). Повторяя рассуждение предыдущего абзаца, легко убедиться, что оператор умножения на z не имеет логарифма в 35(H), поскольку в области D функция z не имеет однозначного непрерывного ограниченного логарифма. Вместе с тем при каждом ненулевом целочисленном k
функция zl'k корректно определяется в D и оператор умножения на z не выводит из H (здесь можно сослаться на теорему С.5.3 из [9], согласно которой в данном случае z1^1 есть поточечный предел равномерно ограниченной на D последовательности рациональных функций, которые при желании можно считать полиномами от г и 1/г).— Прим. ред.
3GU часть 3. банаховы алгебры и спектральная теория
При доказательстве теоремы 11.39 не обязательно повторять доказательство теоремы Хана—Банаха; можно воспользоваться результатом. Пусть X0—произвольный нормальный элемент из Л и A0—подалгебра, порожденная единицей е, этим элементом и сопряженным. По теореме 11.18-
имеем A0 = C (А) и 1IXoII = IIx0II00. Пусть ?—такая точка из А, что | X0 (|) |=
= Il X0 ||. Положим F(x)=x(?) для XGA0 и продолжим этот функционал с сохранением нормы на А. Из теорем 12.28, 12.29 и примечания на vrp. 322 вытекает, что F^O.— Прим. ред.
так как затем мы положим F(x) = f (и)-{-if (v), если x = u-\~ii>t, и GAr, vGAr. Так как при гаком определении F (ix) = if (a'), то> F—линейный функционал (относительно комплексных скаляров),, а из (2) вытекает, что он положителен.
Пусть Al0—подпространство в Аг, порожденное элементами е и ZZ*. Определим на M0 функционал f0, полагая
(3) fо (ае + ?z2*) = а +: И zz* || (а, ? G R)-
Заметим, что функционал Zo определен корректно на TW0 даже-в том случае, если е и zz* линейно зависимы. В силу утверждения (а) теоремы 11.28 имеем || zz* \\ Gg (zz*). Поэтому о (ае -f- ?z2*)> содержит число a-f-? I] zz* ||. Другими словами, f0(x) G^ (х), если х G M0, так что /0 (х) > 0 при х G P П Af0. Далее, функционал Z0-удовлетворяет условию (1).
Предположим, что функционал f0 продолжен до вещественно линейного функционала Zi на некотором подпространстве M1 в Аг, причем по-прежнему f1(x)^0 для всех XGPV[M1. Пусть. у GAr, у ^ M1. Положим
(4) P = M1H (у-Р), Е' = М1П(у + Р).
Если х'GE' и х" GE", то у—х' G P и х"—у G Р> Поэтому х"—х' GP и, следовательно, fi(x')^ft(x"). Отсюда вытекаетг существование такого вещественного числа с, что
(5) /, (X') < с < Zi (jO (X' G E', х" G Е"). Положим
(6) U(X + ay) = Z1(X) +ас (XGM1, aGR).
Если x-\-yGP, то —X G E', так что /г (—х)^.с и Zi (А) ^—с. Поэтому /а (я+ 0)^0. Если л:—у GP, то * € ?"\ так что Z1 (лс) ^ с и Za(^—У)^с—с = 0. Из рассмотрения этих двух случаев вытекает, что Z2 ^ 0 на P Г) Al2.
Как и в теореме Хана—Банаха, доказательство завершается при помощи трансфинишой индукции1). Щ
12.40. Теорема. Если А есть В*-алгебра и и G А, причем ифО, то существуют такое гильбертово пространство Ji11 и
ГЛ. 12. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 361
такой гомоморфизм Tn алгебры А в ЗВ {H11), что T11 (е) = 1,
(1) T11 (х*) = T11 (х)* (xZA),
(2) IlТи(х) ||< IIXIl (XZA)
•и ||Гв(и)|| = ІМ|.
Доказательство. Мы считаем элемент и фиксированным и в дальнейшем не пишем индекса и. Пусть F—такой положительный функционал на А, что
(3) F(e)=l и F(u*u)=\\u\\\
Существование таких функционалов вытекает из теоремы 12.39. Пусть
(4) Y = \у Z А: F (ху) = 0 при каждом х Z А\.
Так как функционал F непрерывен (теорема 11.31), то подпространство У замкнуто в Л. Для обозначения класса смежности по Y, т. е. элемента из AjY, будем пользоваться штрихом, так что
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed