Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Пусть А—наименьшая замкнутая подалгебра в 93(H), содержащая операторы /, T и Т*. Так как оператор T нормален, то к алгебре А применима теорема 12.22. В соответствии с теоремой 11.19 отождествим пространство максимальных идеалов алгебры А с о (T). При этом T(X) = X для каждого X ? о (T). Существование разложения E теперь вытекает из теоремы 12.22.
С другой стороны, если существует разложение Е, удовлетворяющее условию (1), то по теореме 12.21
(2) р(Т, T*)= $ p(X,X)dE(X)
a (T)
для каждого полинома р от двух переменных (с комплексными коэффициентами). По теореме Стоуна — Вейерштрасса такие полиномы плотны в пространстве С (a (T)). Отсюда вытекает (если применить тот же прием, который употреблялся при доказательстве единственности в теореме 12.22), что проекторы ?(со) однозначно определяются по интегралам (2) и, следовательно, по оператору Т.
Если ST = TS, то ST* = T*S (теорема 12.16). Поэтому оператор S коммутирует с каждым оператором из алгебры А. В силу утверждения (с) теоремы 12.22 отсюда следует, что SE (со) = E (со) S для каждого борелевского множества COCZa(T1). Щ
12.24. Функциональное исчисление для нормальных операторов. Если E—спектральное разложение некоторого нормального оператора T ?93 (H) и / — произвольная ограниченная борелевская функция на а (T), то оператор
(1) V(f)= J fdE
G(T)
принято обозначать через / (T).
Используя это обозначение, можно следующим образом резюмировать содержание теорем 12.21—12.23 в применении к случаю одного оператора:
348 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Отображение f —> / (T) есть гомоморфизм алгебры всех ограниченных борелевских на о (T) функций в алгебру SB(H). Это отображение переводит функцию f (K)=I в оператор I, функцию f (X) = X—в оператор T и удовлетворяет условиям
<2) T(T)^f(T)*
(3) ll/COlKsupJI/pL)!: л. ? а (Г)}.
Если f ?С(с(T)), то в (3) имеет место равенство.
Если fn —> f равномерно, то || fn (T) —f (Т)\\ —> O при п —> со.
Если SGSB(H) и ST = TS1 mo Sf (T) = f (T) S для каждой ограниченной борелевской функции f.
Так как тождественная функция f (X) = X равномерно аппроксимируется на о (T) простыми борелевскими функциями, то оператор T есть предел по норме SB(H) конечных линейных комбинаций проекторов E (со).
Наше первое применение описанного функционального исчисления составляет доказательство следующей теоремы.
12.25. Теорема. Если оператор TGSB(H) нормален, то
Il T Il = sup {I (Tx, X) \: xGH, ||*||<1}. Доказательство. Пусть є > 0. Достаточно показать, что О) \(Тх0, X0) I > И T11-8
при некотором X0GH, таком, что ||*0||=1.
Так как || Г || = || Г || «> = P (T) (теорема 11.18), то существует такое X0 Gо (T), что |X01 = || T||. Пусть (о—множество всех XGo (T), для которых IX—Я0|<е. Если E — спектральное разложение оператора T, то в силу утверждения (Ь) теоремы 12.22 имеем E (о>) Ф 0. Поэтому найдется такой вектор X0 G И, что ||л:01| = 1 и E (о>) X0 = х0.
Пусть / (A,) = X—X0 при X G w и f (X) = 0 для остальных X G о (T). Тогда
f (T) = (T-X0I) E (а),
так что
f (T) X0=Tx0-X0X0.
Поэтому
\(Тх0, x0)-X0\ = \(f(T)x0, X0) |<I) f(T) ||<є,
ибо \f(X)\<.e для всех XGo(T). Так как IA0I-IIT1II, то отсюда вытекает (1). Щ
12.26. Теорема. Нормальный оператор TGSB(H) является
(а) самосопряженным тогда и только тогда, когда о (T) лежит на вещественной оси;
ГЛ. 12. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 349
(Ь) унитарным тогда и только тогда, когда о (T) лежит на единичной окружности.
Доказательство. Рассмотрим ту же алгебру А, что и в доказательстве теоремы 12.23. Тогда T (к) = Я, и (Т*)~_(к) = Я, на а (T). Поэтому T = T* тогда и только тогда, когда K = K на о (T), и TT* = I тогда и только тогда, когда ЯЛ, = 1 на 0(7"). Щ
12.27. Инвариантные подпространства. Замкнутое подпространство M пространства Я называется инвариантным подпространством семейства операторов 2 czЭВ (H), если каждый оператор T 62 переводит M в себя. Например, каждое собственное подпространство оператора T является инвариантным подпространством для Т. Если dim Я < оо, то из спектральной теоремы вытекает, что пространство Я порождается собственными подпространствами каждого нормального оператора. [Схема доказательства. Характеристической функции каждой точки из о (T) отвечает проектор. Сумма таких проекторов равна E (о (T)) = L] Если dim H = оо, то может оказаться, что оператор T вовсе не имеет собственных значений (см. упр. 20). Однако нормальный оператор по-прежнему обладает нетривиальными (т. е. не совпадающими с {0} и H) инвариантными подпространствами.
В самом деле, пусть А—нормальная алгебра, описанная в теореме 12.22, и E—построенное там разложение единицы на борелевских подмножествах пространства А. Если А состоит из одной точки, то алгебра А состоит из операторов, кратных тождественному, и каждое подпространство в Я инвариантно относительно А. Предположим, что A = CoL)Co', где со и со' — непустые борелевские подмножества без общих точек. Пусть M и M'— образы проекторов E ((о) и E (со') соответственно. Тогда ТЕ (со) = E (со) T для каждого TZ А. Если х?М, то отсюда получается, что
