Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Это приводит к прозрачному доказательству единственности разложения единицы Е. Предположим, что E удовлетворяет уело-
вию (2). Так как T пробегает все пространство C(A), то из регулярности комплексных борелевских мер EXi v вытекает, что Ex^ у однозначно определяются условием (2). Строго говоря, это •является следствием единственности в теореме Рисса (см. [27, теорема 6.19]). Так как по определению
<?) (Е(ы)х, у) = ЕХщу((й),
то каждый из проекторов E (со) также однозначно определяется условием (2).
Приведенное доказательство единственности мотивирует следующий способ доказательства существования Е. Если xGH и у GH, то по теореме 11.18 отображение
44) T — (Tx, у)
будет ограниченным линейным функционалом на C(A) с нормой
^ IIх II Il У ІІ> так как Il T IU = ll T W- ^o теореме Рисса о представлении существует такая однозначно определенная регулярная комплексная борелевская мера ц-х, у на А, что
<5) (Tx, у) = 1 Td1Ix, v (х G Н, у GH, T GA).
д
Если функция T вещественная, то оператор T самосопряженный и поэтому числа (Tx, у) и (Ту, х) комплексно сопряжены. Следовательно,
<6) H*,„=ї*і,.* (X GH, у GH).
ГЛ. 12. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ в ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ .345.
При фиксированном T Z А левая часть равенства (5) представляет собой линейный функционал по х и сопряженно-линейный, по у. Ввиду единственности меры \хх,у отсюда вытекает, что для каждого борелевского множества сое А отображение (х, у) -> \xXty (со) представляет собой полуторалинейный функционал. Так как. Il Px. у Il ^ IIх Il Il УII» то ограниченным полуторалииейным функционалом на Я будет и
(7) $/Ф*.„
д
при каждой ограниченной борелевской функции / на А. По теореме 12.8 функции / соответствует такой оператор Ф (J) Z ^ (H)*. что
(S) (<b(F)xt y) = lfdpXiy (XЄН, уZH).
А
Сопоставляя формулы (5) и (8), мы видим, что (9) Ф (T) = T (TZA).
Следовательно, отображение Ф служит расширением отображения.
T-^T алгебры C(A) на А.
Если функция / вещественна, то из (6) вытекает, что числа (Ф (/) х, у) и (Ф (/) у, х) комплексно сопряжены. Это означает, что оператор Ф (/) самосопряженный.
Теперь мы покажем, что для любых двух ограниченных борелевских функций fug имеет место равенство
(Ю) ф(!§) = Ф(!)Ф(ё).
Если SZA и TzA, то (STy=ST и из (5) вытекает, что
(11) ^Sfdiix,y = (STx, y)^lsdixTx,y.
а д
Так как A=C(A), то отсюда следует, что
(12) td\iXty = d[iTXty
при любом выборе х, у и Т. Интегралы (11) остаются равными если заменить 5 на /. Поэтому
(13) ] [Td1Ix,у= S fdtxTXtl/ =
а а»
= (Ф (f) Tx, у) = (Tx, Z) = J T d\ix, „
д
где г = Ф (/)*#. По тем же соображениям, что и выше, первый и последний интегралы в (13) останутся равными, если заменить-там T произвольной ограниченной борелевской функцией g. Сле-
546 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
довательно,
{14) (Ф (fg) х, у) = \ fgd^ у = 5 gd[iXt ж =
д д
= <P(g)x, г) = (Ф(ПФ(ё)х, у),
чем и доказано (10).
Теперь мы готовы определить Е. Если со—произвольное боре-левское множество в А и f—характеристическая функция этого множества, то мы полагаем E (со) = Ф (f).
Согласно формуле (10), имеем E (со D со') = E (со) E (со'). При о' = со это означает, что каждый из операторов E (со) является проектором. Так как при вещественных / оператор Ф (/) самосопряженный, то все проекторы E (со) будут самосопряженными. Ясно, что E (0) = Ф (0) = 0. Равенство E (A) = I вытекает из формулы (9). Из формулы (8) вытекает соотношение
(15) (Е(ы)х, y) = ixXty(to),
откуда получается, что - функция E конечно-аддитивна. Таким образом, E—разложение единицы.
Так как формула (2) вытекает из (5) и (15), то доказательство утверждения (а) закончено.
Далее, допустим, что со—открытое множество и E (со) = 0. Если
Т?А и носитель функции T содержится в со, то из формулы (1) вытекает, что T = O. Следовательно, Т = 0. По A=C(A), и поэтому в силу леммы Урысона со = 0. Тем самым доказано утверждение (Ь).
Для доказательства утверждения (с) выберем произвольно SZ33(H), XZH, уZH и положим z = S*y. Тогда для любого оператора TZA и любого борелевского множества со с А получим
(16) (STx, у) = (Tx, z) = l f dEx, z,
д
(17) (TSx, y)=[fdESXty,
A
(18) (SE (со) *, у) = (E (со) х, г) = EXt , (со),
(19) (E(CO)S*, y) = ESXty(co).
Если ST = TS для каждого T Z А, то меры в (16) и (17) совпадают и поэтому SE (со) = E (со) S. Обратное устанавливается ана- » логично. Щ
Теперь мы конкретизируем полученный результат для случая, когда рассматривается один оператор.
12.23. Теорема. Если TZ93(H) и T—нормальный оператор, то существует такое однозначно определенное разложение еди-
ГЛ. 12. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 347
ницы E на борелевских подмножествах спектра о (T) оператора Т, что
(1) T= $ XdE(K).
о (T)
Кроме того, каждый проектор E (со) коммутирует с каждым оператором S ?93 (H), коммутирующим с оператором Т.
В такой ситуации мы будем говорить, что E—спектральное разложение оператора Т.
Иногда удобно считать, что отображение E определено на всех борелевских множествах из С, полагая E (со) = 0, если со П о (T) = 0.
