Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(1) M = sup{\f(x, у)\: IMI HI J/IH !}<<*>>
то существует в точности один такой оператор SG&(H), что
(2) !(х, у) = (х, Sy) (X GH, у GH).
Кроме того, \\ S || = М.
Доказательство. Так как \ f(x, у)\^М\\х\\\\у\\, то при каждом фиксированном уGH отображение
x-+f(x, у)
является линейным функционалом на Я с нормой, не превосходящей M \\у К. Поэтому из теоремы 12.5 вытекает, что каждому у G H соответствует такой однозначно определенный элемент Sy G Н, что выполняется соотношение (2) и, кроме того, Il Sy Il ^ M Il у ||. Ясно, что отображение S: H—>Я аддитивно. Если a G С, то
(х, S (ау)) =f(x,ay) = af (х, у) = а (х, Sy) = (х, aSy)
г
для всех X и у из Я. Поэтому отображение S линейно. Следовательно, SG^(H) и И S |К М. Вместе с тем
\f(x, у)\ = \(х, Sy)|<||x||||Sy||<||*||||S||||y||,
откуда вытекает противоположное неравенство Af ^|]S||. Щ
334
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
12.9. Сопряжение. Если T ?93 (H), то форма (Tx, у) является линейной по X1 сопряженно-линейной по у и ограниченной. Поэтому из теоремы 12.8 вытекает, что существует такой однозначно определенный оператор Т* ?33 (H)1 что
(1) (Tx1 у) = (X, Т*у) (XZH1 у ? H)
и, кроме того,
<2) \\Т*\\ = \\Т\\.
Мы утверждаем, что отображение T —>Т* является инволюцией на 33(H)1 т. е. обладает следующими четырьмя свойствами:
<3) (Г + S)» = 7* +S*;
(4) (ссТ)» = аТ*\
<5) (ST)* = T*S*\
<6) T»» = Т.
Свойство (3) очевидно, а (4), (5) и (6) вытекают из соотношений
(OiTx1 у)= а (Tx, у) = a (X1 Т*у) = (х, аТ*у), (STx1 у) = (Tx1 S*y) = (x, T*S*y),
(Tx1 у) = (Т*Уі х) = (у, Т**х) = (Т**х, у).
Так как
Il Tx Ip = (Tx1 Tx) = (Т*Тх, X) < Il Т*Т К К X ||а
для каждого х?Н, то || T ||2 || Т*Т ||. С другой стороны, из (2) получается, что
Il т*т ||< цт* Il Il т\\ = її т ца.
Поэтому для каждого T € 93 (H) имеет место равенство
<7) Il T-T И = || T И".
Таким образом, мы доказали, что 93(H) является В*-алгеб-рой относительно инволюции, определенной соотношением (1).
Примечание. Введенный выше оператор Т* иногда называют сопряженным к T в смысле гильбертова пространства (или эрмитово сопряженным), чтобы подчеркнуть отличие от сопряженного в смысле банаховых пространств, обсуждавшегося в гл. 4. В принципе единственное различие состоит в том, что переход T—к эрмитово сопряженному есть не линейная, а сопряженно-линейная операция (а также в том, чго эрмитово сопряженный оператор действует не в сопряженном, а в том же пространстве). С этим связана сопряженно-линейная природа изометрии, описанной в теореме 12.5. Если в соответствии с этим «перенести» оператор Т* из H в H*, то мы окажемся в ситуации гл. 4.
ГЛ. 12. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 335
12.10. Теорема, Если T € (H)1 то
(г*) = т (D-L и (T) = т (т*)К
Напомним, что (T) и 31(T) обозначают соответственно ядро и образ оператора 7\
Доказательство. Каждое из следующих четырех утверждений очевидно эквивалентно последующему и (или) предыдущему:
Таким образом, S (T*) = fh (T)J-. Поскольку г** = Г, второе утверждение теоремы вытекает из первого, если заменить там T на Т*. Щ
12.11. Определение. Оператор T ?$(Н) называется
(a) нормальным, если ТТ* = Т*Т;
(b) самосопряженным (или эрмитовым), если Т* = Т;
(c) унитарным, если Т*Т = I = ТТ*, где /—единичный оператор в пространстве Н;
(d) проектором, если Г2 —Г.
Ясно, что самосопряженные и унитарные операторы нормальны. Большинство теорем данной главы посвящено нормальным операторам.
12.12. Теорема. Пусть T Є 53 (H).
(a) Оператор T тогда и только тогда нормален, когда I) Tx Il = || Т*х К для каждого х 6 Н.
(b) Если оператор T нормален, то (T) = ^ (T*) = 91 (T)1-.
(c) Если оператор T нормален и Tx = ах при некотором х?Н
и a Z С, то Т*х = ах.
(d) Если оператор T нормален, а а и ?—различные собственные значения оператора T1 то соответствующие собственные подпространства ортогональны.
Доказательство. Для доказательства утверждения (а) достаточно сопоставить равенства
со следствием теоремы 12.7. Очевидно, что утверждение (Ь) вытекает из (а) и теоремы 12.10. Если применить утверждение (Ь) к оператору T—а/, то получится (с). Наконец, если Тх = ах и
(D (2) (3) (4)
Т*у = 0;
х, Т*у) = 0 для каждого х?Н; (Tx, у) = 0 для каждого х?Н; У ^ St (T)K
Il Tx |р = (Tx, Тх) = (Т*Тх, х), К Т*х |р = (Т*х, Т*х) = (ТТ*х, X)
336 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Ту = $у, то, применяя (с), получаем
а (х, у) = {ах, у) = {Tx, у) = (х, Т*у) = (х, $у) = ? {х, у).
Так как а Ф ?, то отсюда следует, что xj_y. Щ
!2.13. Теорема. Если U(HSB(H), то следующие три условия эквивалентны:
(a) U—унитарный оператор;
(b) M[U) = H и {Ux, Uy) = (X, у) для всех х?Н, у?Н;
(c) M(U) = H и Il Ux \\ = II X И для каждого х?Н.
Доказательство. Если U — унитарный оператор, то Si(U) = H, так как UU* = I. Далее, U*U = I, так что
(Ux, Uy) = (х, U*Uy) = (х, у).
Таким образом, из (а) вытекает (Ь). Очевидно, что выполнение условия (Ь) влечет за собой выполнение условия (с). Наконец, если выполняется условие (с), то
(U*Ux, X) = (Ux, Ux) = Il Ux Л2 = II X ||2 = (х, X)
