Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
для каждого х?Н, так что U*U = I. Но (с) означает также, что U —линейная изометрия пространства H на себя. Поэтому оператор U обратим в Ш(Н). Так как U*U = I, то U~1 = U* и, следовательно, оператор U унитарен. Щ
Примечание. Эквивалентность условий (а) и (Ь) означает, что унитарные операторы суть в точности линейные изоморфизмы пространства Я, сохраняющие скалярное произведение. Таким образом, этими операторами исчерпываются автоморфизмы гильбертова пространства.
Эквивалентность условий (Ь) и (с) является также следствием упр. 2.
12.14. Теорема. Для каждого проектора P?ffi(H) выполнение любого из следующих четырех условий влечет за собой выполнение трех остальных:
(a) оператор P является самосопряженным;
(b) оператор P является нормальным;
(c) M(P) = n(P)j-;
(а) (Px, х) = К Px||а для каждого х?Н.
По поводу свойства (с) обычно говорят, что P является ортогональным проектором.
Доказательство. Очевидно, что из условия (а) вытекает условие (Ь). Утверждение (Ь) теоремы 12.12 показывает, что
(P) = M(P)1, если P—нормальный оператор. Если к тому же P является проектором, то M(P) = n(j — Р), так что M(P) замкнуто. Поэтому в силу теоремы 12.4 из (Ь) вытекает (с).
ГЛ. 12. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 337
Если выполняется условие (с), то каждый вектор х G H представим в виде x = y-\-z, где yj_z, Py = O и Pz = z. При этом Px = Z и (Px, x) = (z, z), так что условие (d) выполняется.
Наконец, предположим, что выполняется условие (d). Тогда
\\Рх\\* = (Рх, х) = (х, Р*х) = (Р*х, х).
Последнее равенство объясняется тем, что Il Px ||2 вещественно и (х, Р*х) = (j Px ||2. Таким образом, (Px, х) = (Р*х, х) для каждого xk Н, так что P = P* в силу теоремы 12.7. Поэтому (а) вытекает из (d). Щ
12.15. Теорема. Пусть SGSB(H), причем оператор S самосопряженный. Тогда ST = O в том и только в том случае, если
(S) JL (T).
Доказательство: (Sx, Ту) = (х, STy). Щ
Этот результат будет очень часто использоваться в ситуации, когда оба оператора SnT являются ортогональными проекторами.
Теорема о перестановочности
Пусть X и у—коммутирующие элементы некоторой банаховой алгебры с инволюцией. Очевидно, что тогда элементы х* и у* также коммутируют, поскольку просто х*у* = (ух)*. Верно ли, что при этом элемент X коммутирует с у*? Ответ, конечно, будет отрицательным, если, например, элемент х не является нормальным и у = х. Более того, ответ может оказаться отрицательным даже в том случае, когда оба элемента х и у нормальны (упр. 28). Поэтому представляет интерес тот факт, что ответ положителен (для нормальных х) в алгебре SB(H) с инволюцией, определяемой переходом к сопряженному оператору в гильбертовом пространстве:
Если оператор NGSB[H) нормален, TGSB(H) и NT = TN, то N*T = TN*.
На самом деле имеет место даже следующий несколько более общий факт.
12.16. Теорема (Фуглид—Путнам—Розенблюм). Пусть М, N, TGSB(H), причем операторы MuN нормальны. Если
(1) MT = TN, то М*Т = TN*.
Доказательство. Рассмотрим сначала произвольный оператор SGSB(H). Пусть V = S-S* и
(2) Q= ехр (V) = Y. жуя<
/2 = 0
338 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Тогда V* =— V и, следовательно,
(3) Q* = exp (V*) = ехр (— V) = Q-1. Поэтому оператор Q унитарен. Таким образом,
(4) Il exp (S-S*) И = 1 для каждого S € 33 (H).
Если выполняется условие (1), то по индукции получается, что MkT = TNk при всех k=\, 2, 3, ... . Следовательно,
(5) exp (M)T = T ехр(А/), или
(6) T = exp (- M) T exp (N).
Положим t7,=exp(Af*—М), U2 = exp(N— А/*). Так как операторы M и N нормальны, то из (6) вытекает, что
(7) exp (M*) T exp (— N*) = U1TU2.
В силу формулы (4) имеем || U11| = || U21| = 1. Поэтому соотношение (7) приводит к неравенству
(8) ||ехр(М*)Гехр(-Л/*)||<||Г||. Положим теперь
(9) / (X) =ехр (Ш*) T exp (—XN*) (X ? С).
Условия теоремы будут выполнены, если заменить M и N на XM
и XN соответственно. Поэтому из неравенства (8) вытекает, что И f(X) \\^\\Т \\ при каждом X ? С. Таким образом, / оказывается целой ограниченной 33 (Я)-значной функцией. Следовательно, согласно теореме Лиувилля 3.32, имеем / (X)= f (O) = T при каждом Х?С. Поэтому из равенства (9) вытекает, что
(10) CXp(XM*) T = Texp(XN*) (X ? С).
Сравнивая в (10) коэффициенты при X, получаем М*Т = TN*. Щ
Замечание. Если просмотреть доказательство теоремы, то можно заметить, что в нем не используется никаких свойств алгебры 33(H), кроме тех, которые означают, что она является Б*-алгсброй. Однако в силу теоремы 12.41 это обстоятельство фактически не приводит ни к какому обобщению результата.
Разложения единицы
12.17. Определение. Пусть Ш есть некоторая о-алгебра подмножеств множества Q и H — гильбертово пространство. В этой ситуации разложением единицы (на Ш) называется отображение
Е: 33 (И),
обладающее следующими свойствами:
(a) E (0) = 0, E(Q) = I;
!ГЛ. 12. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 339
(b) каждый из операторов E (со)—самосопряженный проектор;
(c) Е(ы'ПЫ") = Е((а')Е((о")\
(d> если сй'Псо"=0. то Е(ю' U со*) = ?(со') + ?((.>"); (е) для любых векторов XZ H и у ZH функция множества EXt у, определяемая равенством
