Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
По теореме 12.7 отсюда следует, что || Px|| = || Tx|[ для всех х?Н в том и только в том случае, если р* = т*Т. Щ
Тот факт, чго каждое комплексное число X представимо в виде Х. = а|л-|, где І сс I = 1, приводит к задаче о представлении оператора T ?33 (H) в виде T = UP, где U — унитарный оператор и Р^О. Если такая факторизация возможна, то мы называем UP полярным разложением оператора 7.
Заметим, что оператор U, будучи унитарным, является изометрическим. Поэтому из теоремы 12.34 вытекает, что множитель P однозначно определяется оператором 7.
12.35. Теорема, (а) Если оператор T ?33(H) обратим, то он обладает единственным полярным разложением T = UP.
(Ь) Если оператор T ?33 (H) нормальный, то он обладает полярным разложением T = UP, в котором операторы UuP коммутируют друг с другом и с оператором 7.
Доказательство, (а) Если оператор 7 обратим, то обратимы операторы 7* и 7*7, а из теоремы 12.33 тогда вытекает, что обратим и положительный квадратный корень P из оператора 7*7. Положим U = TP'1. Тогда оператор U обратим и
y*U = P-1T^TP-1 = P-1P2P-1 = !,
так что U — унитарный оператор. Так как оператор P обратим, то единственность очевидна: U TP'1.
(Ь) Положим р (X) — IX |. Пусть и (X) =Х/\Х\, если XФ0, и и (0)=1. Тогда р и и—ограниченные борелевские функции на о (T). Пусть P р (T) и U-U(T). Так как р^О, то из теоремы 12.32 вытекает, что Я^О. Так как ии=\, то UU* = U*U = /. Так как X и(Х)р(Х), то соотношение T = UP вытекает из формул функционального исчисления. Щ
ГЛ. 12. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ Б ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 355
12*
Замечание. Произвольный оператор T G SB (H) не обязательно обладает полярным разложением (см. упр. 19). Однако если P— положительный квадратный корень из оператора Т*Т, то Il Px II= Il Tx Il для каждого х G H и формула
VPx = Tx
определяет линейную изометрию V пространства 91 (P) на 5? (T) > которая по непрерывности продолжается до линейной изометрии замыкания пространства M (P) на замыкание пространства th (T).
Если существует линейная изометрия пространства Ж (P)L на пространство tu (T)-1-, то V можно продолжить до унитарного оператора в пространстве H и мы получаем полярное разложение для оператора Т. Эта процедура полностью осуществима, когда dim H < оо, так как тогда пространства (P) и (T) имеют одинаковую коразмерность.
Если же продолжить V до оператора из SB(H), полагая Vy = O для всех у G 9i (P)L, то мы получим оператор V, который называется частичной изометрией.
Каждый оператор TGSB(H) обладает факторизацией T = VP, в которой P—положительный оператор, а V—частичная изометрия.
В сочетании с теоремой 12.16 полярное разложение приводит к следующему интересному результату относительно подобия нормальных операторов.
12.36. Теорема. Пусть М, N, TGSB(H), причем операторы MuN нормальны, а оператор T обратим. Предположим, что
(1) M = TNT-K
Если T = UP—полярное разложение оператора Т, то
(2) M = UNV-K
Два оператора M и N, связанные соотношением (1), называются подобными. Если U — унитарный оператор и выполняется соотношение (2), то операторы M и N называются унитарно эквивалентными. Таким образом, в теореме устанавливается, что подобные нормальные операторы унитарно эквивалентны.
Доказательство. Условие (1) можно переписать в виде MT = TN. Из теоремы 12.16 вытекает, что М*Т = TN*. Следовательно,
Т*М = (М*Г)* = (TN*)* = NT*,
так что
NP2 = NT*T = Т*МТ = T*TN = P2N,
поскольку P2 = Т*Т. Поэтому оператор N коммутирует с / (P2) при любом [GC(O(P2)) (см. п. 12.24). Так как Я>0, то>
356 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
с (P2) а [0, со). Если теперь f (X) = Х1/* ^ 0 на о (P'2), то отсюда получается, что NP = PN. Поэтому из (1) вытекает, что
M = (UP)N (UP)-l = UPNP-W-x = UNU-x. ¦ Группа обратимых операторов
Некоторые характерные свойства группы всех обратимых элементов произвольной коммутативной банаховой алгебры А были описаны в конце гл. 10. Следующие две теоремы содержат некоторую дальнейшую информацию в специальном случае A = 33 (H).
12.37. Теорема. Группа G всех обратимых операторов T G S3 (H) связна, и каждый оператор T G G представляется в виде произведения двух экспонент.
Экспонентой здесь называется, конечно, оператор вида ехр (S), где SGSB(H).
Доказательство. Пусть T = UP — полярное разложение некоторого оператора T G G. Напомним, что U — унитарный, a P—положительный операторы, причем оба они обратимы. Так как о (P) cz(0, оо), то на о (P) определена непрерывная вещественная ветвь логарифма. Поэтому из формул функционального исчисления вытекает существование такого самосопряженного оператора S G S3 (H), что P = exp(S). Так как U—унитарный оператор, то a (U) лежит на единичной окружности. Существует такая ограниченная вещественная борелевская функция / на
g (U), ЧТО
ехр {if (X)} =Х (XGo(U)).
(Заметим, что непрерывной функции / с такими свойствами может не существовать!) Положим Q =f(U). Тогда Q—самосопряженный оператор из 33(H) и U =ехр(iQ). Таким образом,
T = UP = ехр (iQ) ехр (S).
Отсюда следует также, что группа G связна. Действительно, при 0^r определим оператор Тг, полагая
