Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Формула (1) иногда записывается в виде
(4) = $ fdE.
и
Напомним, что подалгебра А алгебры 5S(H) называется нормальной, если она коммутативна и вместе с оператором T содержит оператор Т* (см. определение 11.24).
Доказательство. Мы начнем с рассмотрения некоторого разбиения {(o1, ...,со,,} множества Q на подмножества «,•6Ja)L Пусть s—простая функция, принимающая на ю,- значение Определим оператор 1F (s) G $ (H), полагая
342 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Если \щ.....o),'„}—другое разбиение того же типа и t = ?f
на со/, то
W (S) 1F(O = S a&jE (со,-) E (со}) = S^jE К П со».
і, І і, І
Так как st — простая функция, равная на o)1-Do)}, то отсюда следует, что
(7) W(s)W(t) = W(st). По тем же соображениям
(8) W (as -f ?r) = aW (s) -f $W (t). Если X ? H и у ?Н, то, согласно формуле (5),
<9) (W (s) х,у)=% a, (E (со.) а:, у) = 2 а,^, „ (о>,-) = J s d?Xi у.
Из формул (6) и (7) вытекает, что (10) W (S)* W (s) = W (і) Ч' (S) = ? (Is) = W (I s |а).
Поэтому формула (9) приводит к равенству
<11) Il W (S) X ||а = (W (s)* W (S) х, X) = (W (I s |«) я, *) = J I s |« d?Ai „
из которого в силу формулы (2) п. 12.17 вытекает, что
(12) 1IT(S)XIKIIsII00IIxII.
¦С другой стороны, так как проекторы E (со,-) имеют взаимно ортогональные образы, то при x?9i(E (соу)) имеем
(13) W (s) X = CLjE ((oy) X = аух.
Если выбрать / с таким расчетом, чтобы иметь ICt7I = JIsII01,, то из (12) и (13) получится, что
(H) II V (S) И = || s
Пусть теперь f?L°°(E). Существует последовательность простых измеримых функций sA, которая сходится к / по норме L°° (E). Согласно (14), соответствующие операторы W (sA) образуют последовательность Коши в S(H). Эта последовательность сходится к некоторому оператору, который мы и обозначаем через W (f). Легко видеть, что W (f) не зависит от специального выбора последовательности \sk\. Очевидно, что из формулы (14) вытекает более общая формула
<15) Il У (DII = 11 f\U (/€ ^ (E)).
Так как каждая из мер EXty конечна, то формула (1) вытекает из формулы (9) (с заменой s на sft). Формулы (2) и (3) вытекают ИЗ (6) И (И). АппроКСИМИруЯ ПРОСТЫМИ фуНКЦИЯМИ SH^
ГЛ. 12. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 343
по норме L°° (E) ограниченные измеримые функции / и g, мы видим, что формулы (7) и (8) остаются справедливыми при замене s и t на произвольные ограниченные измеримые функции f
Таким образом, 1F есть изометрический изоморфизм алгебры L°° (E) в алгебру 33 (H). Так как алгебра L"0 (E) полна, то в силі/ (15) алгебра А = T (L"° (E)) замкнута в 33 (H).
Наконец, если оператор Q коммутирует с каждым из операторов E (со), то Q коммутирует и с операторами Ч1' (s) для простых s, а примененный выше процесс аппроксимации показывает, что тогда Q коммутирует и с каждым элементом алгебры А.Щ
Спектральная теорема
Главное утверждение спектральной теоремы заключается в том, что каждый ограниченный нормальный оператор T в гильбертовом пространстве порождает (некоторым каноническим способом) разложение единицы E на борслевских подмножествах его спектра о (T) и что оператор T может быть восстановлен по E при помощи процесса интегрирования типа описанного в теореме 12.21. Большинство результатов теории нормальных операторов опирается на этот факт.
Вероятно, нелишне подчеркнуть, что, говоря о спектре a (T) оператора Т, мы всегда имеем в виду всю алгебру 33(H). Другими словами, 1K gcr (T) означает, что оператор T—Я/ не имеет обратного в 93(H). Вместе с тем мы будем иметь дело и с замкнутыми подалгебрами А алгебры 33(H), которые обладают тем дополнительным свойством, что IZ А и 5* Z А, если SZA. [Такие алгебры иногда называют *-алгебрами.] Так как алгебра 33(H) является Б*-алгеброй, то ввиду теоремы 11.29 в такой ситуации (7 (T) = ga (T) для каждого оператора T Z А.
Таким образом, оператор T имеет один и тот же спектр во всех замкнутых *-алгебрах в 33(H), содержащих этот оператор.
Спектральную теорему 12.23 мы получим в качестве частного случая следующего результата, в котором речь идет не об индивидуальном операторе, а об алгебре нормальных операторов.
12.22. Теорема. Пусть А—некоторая замкнутая нормальная подалгебра алгебры 33(H), содержащая единичный оператор I, и пусть А — пространство максимальных идеалов алгебры А. Тогда справедливы следующие утверждения:
(а) На борелевских подмножествах пространства Д существует в точности одно такое разложение единицы Е, что
и g.
(1)
544 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
для каждого оператора TGА, где T—преобразование Гельфанда {оператора T относительно алгебры А). Как и в теореме 12.21, ¦формула (1) означает, что
<2) (Tx, у) = J TdEx, у (X GH, у GH, TGA).
л
(b) E (со) Ф О для каждого непустого открытого множества <осА.
(c) Оператор SGSB(H) в том и только в том случае коммутирует со всеми операторами TG А, если он коммутирует с каждым проектором E (со).
Доказательство. Так как 9B(H) есть іВ*-алгебра, то данная алгебра А будет коммутативной Б*-алгеброй. По теореме Гельфанда—Наймарка 11.18 отсюда следует, что отображение T—>Т является изометрическим *-изоморфизмом алгебры А на .алгебру C(A).
