Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 128

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 171 >> Следующая

Ех, у (<») = (? H*»
является комплексной мерой на Ш.
Если 93t есть о-алгебра всех борелевских подмножеств некоторого компактного или локально компактного хаусдорфова пространства, то к (е) обычно добавляется требование, чтобы каждая из мер ЕХл у была регулярной борелевской мерой. [Это условие автоматически выполняется, например, для компактных метрических пространств1); см. [27].]
Приведем некоторые прямые следствия указанных условий.
Так как каждый из операторов E (со) является самосопряженным проектором, то
<1) Ex, х (со) = (E H х, X) = И E (со) X ||2 (X Z Н).
.Поэтому любая из функций EXt х будет положительной мерой на Ш, и ее полная вариация равна
(2) \\Ex,x\\=Ex,x(Q) = \\x\\\
В силу условия (с) любые два проектора E (со) коммутируют.
Если со'Г) со" — 0, то в силу условий (а) и (с) образы операторов ?(оУ) и E (со") ортогональны (теорема 12.15).
Согласно условию (d), функция E конечно-аддитивна. Возникает вопрос: будет ли функция E счетно-аддитивной, т. е. сходится ли ряд
(3) S E (Con)
по норме алгебры 9B(H) к оператору ?(со), если со есть объединение счетного семейства непересекающихся множеств to„ Z 9)1? Так как норма проектора либо равна 0, либо не меньше 1, то частичные суммы ряда (3) могут образовывать последовательность Коши только в том случае, если все члены этого ряда, кроме конечного подмножества, нулевые. Таким образом, если исключить некоторые тривиальные ситуации, функция E никогда не бывает счетно-аддитивной в указанном смысле.
Рассмотрим, однако, то же семейство {со,,} и некоторый вектор XZH. Так как E (соп) E (®т) = 0 при пфт, то векторы E (соп) х и E (мт) X ортогональны (теорема 12.15). Согласно условию (е),
1J Просто в силу конечности всех рассматриваемых мер и того обстоятельства, что каждое замкнутое множество представляется в виде пересечения счетного семейства открытых.— Прим. ред.
340
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБрЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
имеем в,
(4) 2] (E К) х, у) = (? (со) *, у)
,J=i
для каждого у Z.H. Поэтому из теоремы 12.6 вытекает, что
cc
(5) 2 E (o)n) х = Е {(о)х,
,2=1
причем ряд (5) сходится по норме пространства И. Полученный результат можно резюмировать следующим образом.
12.18. Предложение. Если E—разложение единицы и xZH, то
со —> E (со) x
есть счетно-аддитивная H-значная мера на Ш.
Что же касается множеств нулевой меры, то здесь можно поступать обычным способом.
12.19. Предложение. Пусть E—разложение единицы. Если
cc
а>п?Ш и E((dn) = 0 при /1=1, 2, 3, ... и если со = и g)n, то
л=1
E (со) = 0.
Доказательство. Так как E (g)n) = 0, то EXt х (g)n) = 0 при каждом xZH. Поскольку каждая из мер Ex х счетно-аддитивна, то Extx(g)) = 0. Но И E (g)) x \\* = Ex, х (g)). Поэтому E(g)) = 0. Щ
12.20. Алгебра L^(E). Пусть, как и выше, E—разложение единицы на Ш. Пусть f—комплексная ЗОЇ-измеримая функция на Q. Существует счетное семейство {D1-} открытых дисков, образующее базу топологии комплексной плоскости С. Пусть V — объединение тех дисков D1, для которых E (/-1 (D1-)) = 0. Согласно предложению 12.19, имеем E (/-1 (V)) = 0. Далее, множество V является наибольшим из открытых подмножеств в С, обладающих этим свойством.
Множеством существенных значений функции / по определению называется дополнение к V. Это множество—наименьшее среди замкнутых подмножеств в С, содержащих f (р) для почти всех р ZQj т. е. для всех р Z Q, за исключением тех, которые
СОДерЖаТСЯ В НеКОТОрОМ МНОЖеСТВе g) Z с E (со) = 0.
Мы говорим, что функция / ограничена в существенном, если множество ее существенных значений ограничено (и потому компактно). В последнем случае наибольшее из чисел где л. пробегает множество существенных значений функции называется существенной верхней гранью Ц/Ц» функции /.
Пусть В—алгебра всех ограниченных комплексных ^-измеримых функций на Q с нормой
11/11= sup {\f (р) |: pZQ}.
ГЛ. 12. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 341
п
(5) Ч' (S) = 2 ЩЕ (а),.).
і-і
Так как каждый из операторов E (о),) самосопряженный, то
(6) ? (Sf = 2 щЕ К) = ? (s).
*=1
Очевидно, что В является банаховой алгеброй и что множества
N = {fGB: Л/Ц^О}
образует идеал в В, причем этот идеал замкнут (предложение 12.19). Поэтому факторалгебра B/N является банаховой. Обычно эта факторалгебра обозначается через L00 (E).
Норма элемента (класса смежности) [/] = / -f- N в Vа (E} равна И/Цсо, спектр о([/]) такого элемента совпадает с множеством существенных значений функции /. Как это принято в теории меры, в обозначениях мы не будем делать различия между функцией / и содержащим ее классом [/].
12.21. Теорема. Если E—описанное выше разложение единицы,, то формула
(D С?(/)х,у) = \ fdEXmу (XGH, уGH)
определяет изометрический изоморфизм 1F между алгеброй Vх (E) и некоторой замкнутой нормальной подалгеброй А алгебры 95(H). Этот изоморфизм \F удовлетворяет условиям
(2) ^ (Ї) = Ч(П* (f Є L-(E)) и
(3) \\4(f)x\\*=$\f\*dEXiX (xGH, fGL"(E)).
и
Кроме того,, оператор QG^(H) в том и только в том случае коммутирует с каждым из операторов E (со), когда Q коммутирует с каждым из операторов (/).
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed