Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
21. Рассмотрим нормальный оператор T ?<$(#). Пусть А—замкнутая подалгебра в &i (H), порожденная операторами I, T к Т*. При каких условиях па ст (T) (необходимых и достаточных) оператор T аппроксимируется по норме S (H) конечными линейными комбинациями проекторов, принадлежащих алгебре Л?
22. Каждый ли нормальный оператор Т?сйЗ(//) обладает в & (H) квадратным корнем? Что можно сказать о мощности множества всех квадратных корней из 7? Может ли случиться так, что два квадратных корня из одного и того же оператора T не коммутируют между собой? Возможно ли это, если T = I}
23. Показать, что преобразование Фурье f—* f есть унитарный оператор и L2 (R"). Каков его спектр? Наводящее соображение. При п=\ вычислите преобразование Фурье от
ехр (-i*2)(|-)mexp(-x2) (m = 0, 1, 2, ...).
24. Показать, что любые два бесконечномерных сепарабельных гильбертовых пространства изометрически изоморфны (привлекая счетный ортонор-мированный базис). Показать, что пространство Н, фигурирующее в теореме 12.38, сепарабельно. Показать, что ответ на вопрос, предшествующий теореме 12.38, будет отрицательным для любого бесконечномерного гильбертова пространства, сепарабелыюго или нет.
25. Пусть T — нормальный оператор из Ш (H), f — ограниченная борелев-ская функция на о (T) и S = f (T). Доказать, что если Ет и Es—спектраль-
ГЛ. 12. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 367
ные разложения операторов TnS соответственно, то
Es(<*)=ET{f-4<o)) для каждого борелевского множества со сто (S).
26. Для пары операторов S?<?8(H) и T ? Si(H) будем писать S^T, если S—T ^ 0, т. е. если
(Sx, х) ?з (Tx, х)
для всех х?Н. Доказать эквивалентность следующих четырех свойств для любой пары самосопряженных проекторов P и Q:
(a) P^-Q;
(b) 5? (P) =^.? (Q);
(c) PQ = <?;
(d) QP = Q
Таким образом, если E — разложение единицы, то соотношение E (о')^ ? (of) эквивалентно включению о)' ZD со".
27. Пусть * означает инволюцию в некоторой комплексной алгебре А,
4+
q—обратимый элемент из этой алгебры, для которого q* = q, и операция определяется равенством
X =q~lx*q
для всех х ? А. Показать, что ^ определяет инволюцию на А.
28. Пусть А — алгебра всех комплексных квадратных матриц порядка 4.
Если М=-(тф ? А, то через М* обозначим матрицу с элементами тц — tnji. Положим
'ООО IN^ /0 0 0 0\ /О О О OV
¦ 0 0 1 0 I [ 1000] ( 0000
4 1OlOOr I 0 0 0 0 / ' I о о о о
,1 0 0 0/ \0 0 0 0/ \0 0 0 L
Как в упр. 27, положим
Af^=Q-WQ (M ? А).
(a) Показать, что операторы SwT нормальны относительно инволюции #, что ST = TS, но ST^7= 7?
(b) Показать, что оператор S-f-T1 не является нормальным относительна
инволюции
(c) Сравнить И SS#|| с || S ||2.
(d) Вычислить спектральный радиус р (S-j-S""*). Показать, что он отличается от И S-]-S" ||.
(e) Определим V = (V1-J) ? А, полагая v12 = v2i = i, vsl = v4S = —і и v,y = 0
в остальных случаях. Описать о (VV*) и показать, в частности, что это множество не содержится в [0, со).
Утверждение (а) показывает, что для некоторых инволюций теорема 12.16 перестает быть верной. Утверждение (Ь) демонстрирует это по отношению к утверждению (а) упр. 12. Утверждения (с), Cd) и (е) показывают, что для
инволюции неверны различные утверждения теоремы 11.28.
368
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
29. Пусть X— векторное пространство всех тригонометрических полиномов на вещественной оси, т. е. функций вида
ГУ)=с1е^ + ...+спе1$"',
ГДС sk Є R и ск Є С при 1 ^ п. Показать, что формула
А
(Л g)= Hm ~ С f V)JfWdt -А
задает на X скалярное произведение, причем
1Ш1*=<Л Л-|сіІя+--- + |сяI2,
и что пополнение Я пространства X по этой норме является несспарабель-иым гильбертовым пространством. Показать, что пространство Я содержит все равномерные пределы тригонометрических полиномов, т. с. совокупность всех так называемых почти периодических функций на вещественной оси R.
30. Пусть Hw — бесконечномерное гильбертово пространство, рассматриваемое в слабой топологии. Доказать, что скалярное произведение задает на HwxHw раздельно непрерывную функцию, которая, однако, не является непрерывной по совокупности аргументов.
31. Пусть Т„€@(Н) при я=1, 2, 3, ... и
lira ||T„jc|| = 0
П Cf.
для каждого х ? Я. Верно ли, что тогда
iim ||т„*||=о
л ->• со
для каждого х ? Я?
32. Пусть X — равномерно выпуклое банахово пространство. Это означает по определению, что если
то Il хп — уп\\—»-0. Любое гильбертово пространство обладает этим свойством.
(a) Доказать, что теорема 12.3 выполняется для пространства X.
(b) Пусть Il*„ || = 1, Л ^ X*, ||Л||=1 и Axn—»-1. Доказать, что \хп} является последовательностью Коши (по норме пространства X). Указание. Рассмотрите A(xn-j-xm).
(c) Доказать, что каждый функционал Л ? X* достигает нормы на замкнутом единичном шаре пространства X.
(й) Предположим, что хп—ух слабо и || хп ||—41*11- Доказать, что тогда И Xn—X \\—>0. Указание. Сведите задачу к случаю ||л:„||=1 и рассмотрите затем Л(хп-\-х) с подходящим функционалом Л.
(е) Показать, что некоторые банаховы пространства (например, L1 или С) не обладают ни одним из перечисленных выше четырех свойств. Все такие пространства, следовательно, не будут равномерно выпуклыми А).
