Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
71r = exp(f'rQ)exp (rS). Тогда г—*ТГ есть непрерывное отображение отрезка [0, 1] в группу G, причем T0 = I и T1 = Т. Теорема полностью доказана. Щ
Теперь естественно спросить, каждый ли оператор T GG будет экспонентой, а не только произведением двух экспонент. Другими словами: верно ли, что произведение двух экспонент снова есть экспонента для любых сомножителей? Ответ положителен, если dim Я <со. Более того, как вытекает из теоремы 10.30, ответ будет положительным для любой конечномерной банаховой
ГЛ. 12. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 357
алгебры. Однако, вообще говоря, ответ отрицателен, и мы сейчас это покажем.
12.38. Теорема. Пусть D—такое ограниченное открытое множество в С, что множество
(1) , H = {a ZC'. a*ZD\
связно' и точка О не принадлежит замыканию множества D. Пусть H—пространство всех голоморфных в D функций /, для которых
(2) J 1/Nm2 < оо
D
(где тг—плоская мера Лебега). Зададим в H скалярное произведение по формуле
(3) (/, g) = \fgdm2.
D
Тогда H есть гильбертово пространство. Определим оператор умножения M Z 93 (H), полагая
(4) (Mf) (г) = zf (z) (f ZH, z ZD).
Тогда оператор M обратим в 93(H), но не имеет квадратного корня.
Так как каждая экспонента, очевидно, обладает корнями всех порядков, то тем самым оператор M не будет экспонентой.
Доказательство. Ясно, что формула (3) действительно .задает скалярное произведение и H становится унитарным пространством. Покажем, что пространство H полно. Пусть К—компактное подмножество в D и O — расстояние от К до дополнения к D. Пусть 2 Z К и Д—открытый диск радиуса 6 с центром в точке z. Если /(0=2^"?—z)n ПРИ Є Є Д» то простое вычисление показывает, что
(5) ? (n-f- I)"1 jflj'o-»+»= lj|f|^m2. « = о д
Так как f(z) = aa, то отсюда получается, что
(6) С* €/С, f?H),
где 11/11 = (/, /)1/2. Таким образом, каждая последовательность Коши из H равномерно сходится на компактных подмножествах множества D. Отсюда легко следует, что пространство // полно, т. е. является гильбертовым пространством.
Так как множество D ограничено, то M Z 93 (H). Кроме того, функция 1/г ограничена в D, и поэтому оператор M обратим в 93(H).
358 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕК 1 РАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Теперь мы покажем, что предположение о существовании такого-оператора QZtB(H), для которого Q2 = М, приводит к противоречию. Допустим, что такой оператор Q существует. Выберем некоторую точку a и положим X = а2. Тогда X ZD. Пусть
(7) Mx = M-XI, S-Q—al, T-Q+al,
так что
(8) ST = Mx = TS.
Поскольку мы имеем дело с голоморфными функциями, формула
(9) (Mxg) (г) - (Z-X) g (Z) (zZ D, g Z H)
показывает, что оператор Mx инъективен и его образ ,? (Af51) состоит в точности из тех f ZH, для которых f (X) = O. Поэтому из неравенства (6) вытекает, что ZH (Mx) есть замкнутое подпространство в H коразмерности 1.
Так как отображение Mx ипъективпо, то первое из уравнений (8) показывает, что T ииъективно, а второе—что тем же свойством обладает S. Так как 5Я(МХ)ФН, то оператор Mx необратим в 53(H). Поэтому хотя бы один из операторов S или T необратим. Предположим, что необратим оператор 5. Так как Mx = ST, то 5/1 (Mx) а5Л (S), так что 5Л (S) либо совпадает с ZA (Mx), либо совпадает с Я. Но если 5А (S) H, то по теореме об открытом отображении оператор 5 будет обратимым. Поэтому он взаимно однозначно отображает H на ZA(Mx). Но уравнение Mx = ST показывает, что уже подпространство ZH (T) отображается оператором S на 5A(Mx). Следовательно, это подпространство 5А, (T) совпадает с Я. Из равенства ZA (T) = Я вытекает, что оператор T обратим.
Таким образом, мы доказали, что при каждом aZQ в точности один из операторов Q—а/ или Q -f-а/ обратим. В частности, о (Q) Q- Но так как множество обратимых операторов от-
крыто в 33 (H), то но той же причине a (Q) Л Q открыто в Q. Вместе с тем это пересечение, очевидно, замкнуто в Q (так как Cr(Q) — компакт) и непусто. Так как по условию множество Q связно, то получается, что о (Q) Г\ Q = Q, и мы приходим к противоречию. Ц
Простейшей областью D, для которой выполняются условия теоремы 12.38, является круговое кольцо с центром в точке О1).
х) Кстати, в этом случае доказательство можно сделать несколько более наглядным. Пусть H0— линейная оболочка в H системы векторов zft, k = 0, ± 1, ± 2, ... . Легко видеть, что H0 плотно в И. Так как M kQ = QMk, то Qf = hf при fZHo> где h=Q (X)Z^. Поэтому для каждой фиксированной точки Z0ZD имеем (Qf) (Z0) = h (Z0)J (Z0), если fZ^o- Н° / —* / (*о) — непрерывный функционал в Н, оператор Q по предположению ограничен и H0,
ГЛ. 12. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 359
Характеризация Л*-алгебр
Тот факт, что 33 (H) является /?*-алгеброй, широко использовался на протяжении всей этой главы. Теперь мы покажем, что верно в некотором смысле обратное (теорема 12.41) — каждая ?*-алгебра (коммутативная или нет) изометрически *-изоморфна некоторой замкнутой подалгебре подходящей алгебры 33 (H). Доказательство основано на существовании достаточно большого запаса положительных функционалов.
