Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Выберем такую последовательность XnZE, чтобы иметь ||*„||—^cL Так как 1U(Xn +хт)ZE, то \\xn + xm\\2^4d2. Если в тождестве* (1) подставить вместо х и у соответственно Xn и хт, то при п—>оо, т—у оо правая часть в (1) будет стремиться к 4d2. Поэтому из-. (1) вытекает, что \хп\ является последовательностью Коши в H.. В силу полноты // эта последовательность сходится к некоторому-элементу XZE (так как E замкнуто), для которого ||л:|| = ^.
Если у ZE и ||#|| = d, то последовательность {х, у, х, у, ...},. как мы только что видели, должна сходиться. Поэтому х=у.Щ
12А, Теорема. Если M—замкнутое подпространство в Н, то>
H = M®M±.
ТЛ. 12. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 331
Утверждение теоремы, если говорить более подробно, состоит з том, что M и Af1 суть замкнутые подпространства в Я, их пересечение равно {Of, а сумма совпадает с Я. Пространство Af-L называется ортогональным дополнением к М.
Доказательство. Если EcЯ, то из линейности скаляр-лого произведения (х, у) по X вытекает, что E1- является подпространством в И, а в силу неравенства Шварца (1) из теоремы 12.2 подпространство EL замкнуто в Я.
Если х?М и x?ML, то (х,х) = 0, так что х = 0. Поэтому
Пусть х?Н. Применяя теорему 12.3 к множеству х—Af, мы видим, что существует такой вектор Ar1^M, который минимизирует величину И де—X1W- Положим X2=X—X1. Тогда || X2 Ю| х2-\~у || .для всех у Z Af. Поэтому JC2 ? Af-L, согласно теореме 12.2. Так как jc = х1-\- х2, то мы доказали, что M фЖ1 = Я.
Следствие. Если Af—замкнутое подпространство в Я, то
(Af-L)-L = M.
Доказательство. Включение Mс(Af-L)J- очевидно. Так как Af ф Al-L = я = Af і ф (Af J-)i, но M не может быть собственным подпространством в (Af-L)I.Л Теперь мы опишем пространство Я*, сопряженное к Я.
12.5. Теорема. Формула
(1) Лх = (х, у) (X ? H)
задает сопряженно-линейную изометршо у—*А пространства H на Я*.
Доказательство. Если уZH и Л определяется формулой (1), то неравенство Шварца (1) из теоремы 12.2 показывает, что .Л ? Н* и что У ЛIK К у\\. Так как
(2) \\У\\* = (У, У) - < И Л И Ы|,
то получается, что || Л \\ = \\ у ||.
Остается показать, что каждый функционал Л g Я* представляется в виде (1).
Если Л = 0, то полагаем у = 0. Если Л Ф 0, то обозначим через <ЛР(Л) ядро функционала Л. По теореме 12.4 можно выбрать ненулевой вектор zZ(Mi(A)-L. Так как
<3) (Ax)Z-(Az) X €оПЛ) (* € Я),
-то (Лх)(г, г) — (Az) (я, z) = 0. Поэтому соотношение (1) выполняется
яіри у = (г, г)-1 (Az) zJI
232
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
12.6. Теорема. Если {хп\— последовательность попарно ортогональных векторов из Н, то выполнение каждого из следующих трех условий влечет за собой выполнение двух остальных.
сс
(a) Ряд 2 Xn сходится по норме пространства Н.
п= 1
(b) 2 Il Xn И" < оо.
л = 1
со
(c) Ряд 2 (¦f я і У) сходится при каждом у?Н.
Таким образом, сильная сходимость (а) и слабая сходимость (с) равносильны для рядов из ортогональных векторов.
Доказательство. Так как (xh Xj) = О при іФj, то при п^.т имеег место равенство
O) Il Xn + ... + хт И" = Il Xn И" + ... + Il хт ||а.
Поэтому если выполняется условие (Ь), то частичные суммы ряда образуют последовательность Коши в Н. Так как пространство H полно, то это означает, что из (Ь) вытекает (а). Неравенство Шварца показывает, что из (а) вытекает (с). Предположим теперь, что выполняется условие (с). Зададим последовательность функционалов An^H*, полагая
п
(2) Апу=^(у, X1) (у?Н, я=1, 2, 3, ...).
ї = і
Из (с) вытекает, что для каждого у ?Н числовая последовательность {Апу\ сходится. Поэтому, согласно теореме Банаха—Штейнгауза, последовательность {||ЛП||} является ограниченной. Но
(3) Il Л„ И = Il Jc1 +...+*„ И = {И X1 H2 +....+ Il Xn И"}і/". Таким образом, из (с) вытекает (Ь). И
Ограниченные операторы
В соответствии с введенными раньше обозначениями через SB(H) мы теперь обозначаем банахову алгебру всех ограниченных линейных операторов T на гильбертовом пространстве Нф{0\ с нормой
И Г H = sup {и 7*11: ІМКП-
Мы покажем, что IB(H) обладает инволюцией, относительно которой 93(H) является /?*-алгеброй.
Начнем с одной простой, но полезной теоремы единственности.
12.7. Теорема. Если T ? SS (H) и (Txt х) = 0 для каждого х?Н, то T = O.
ГЛ. 12. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 333
Доказательство. Так как (T(х-\-у), (х-\-у)) = 0, то
(1) (Tx, у) + (Ту, х) = 0 (X GH, у G Я). Если заменить здесь у на іу, то в результате получится
(2) —і (Tx, у) + і (Ту, х) = 0 (xGH, у G Н). Умножая равенство (2) на і и складывая с (1), будем иметь
(3) (Tx, у) = 0 (xGH, у GH).
При у = Tx формула (3) дает || Tx ||2 = 0. Поэтому Tx = O. Щ
Следствие. Если SG^(H), TGSd(H) и
(Sx, х) = (Тх, х) для каждого xGH, то S = T.
Доказательство. Достаточно применить теорему к оператору S—Т. Щ
Заметим, что теорема 12.7 перестает быть верной, если комплексное поле скаляров заменить вещественным: достаточно рассмотреть подходящее вращение плоскости R2.
12.8. Теорема. Если отображение f: HxH—> C является по-луторалинейным и ограниченным в том смысле, что
