Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
гл. із. неограниченные операторы 385
1) Отображение 1F обладает также следующим свойством аддитивности: если / и g—измеримые функции на Я, то W (/) + 4' (g) CZ 1F (/+g); равенство W (J)+ W = ? (f-\-g) справедливо тогда и только тогда, когда S)if+g)~S)/(] S)g (в частности, это всегда так, если хотя бы одна из. функций f, g ограничена).— Прим. перев.
13 а"» 871
торой J U I = 1 И
(8) ufdEXtV = \f\d\EXty\.
Поэтому
(9) $ \f\d\EXiy\ = W(uf)xt y)<\\V(uf)x\\\\y\\.
q
По теореме 12.21
(10) \\V(uf)xW = $\uf\»dEXtX = l \f\*dEXtX.
fi и
Соотношения (9) и (10) показывают, что неравенство (2) справедливо для всех ограниченных измеримых функций /; но тогда оно справедливо и для любых измеримых функций.
Наконец, если / и g—любые ограниченные измеримые функции на Q, то по теореме 12.21
S gdEXiV = C?(g)x, v) = (W(g)x, W(f)z) =
= (W (Г) W (g) х, z) = CY (Jg) х, z) = [ gJdEXt z ,
откуда следует справедливость соотношения (3). Щ
13.24. Теорема. Пусть E—разложение единицы на множестве Q.
(a) Каждой измеримой функции /: Q—> C формула
(D (Лх, у)= УdEXiy (x?S)f, уZH)
q
сопоставляет плотно определенный замкнутый оператор W (f} в пространстве H с областью определения S) (W (/)) = S)f, удовлетворяющий соотношению
(2) 11^(/)*112 = $1Л2^.*
(b) Отображение W мультипликативно в следующем смысле1): если f и g—измеримые функции, то
(3) T(/)Vfe)cf(/g) и S> (W(f)W(g)) = S)f,f)S)fg.
Поэтому равенство W (/) W (g) — Чг (fg) справедливо в том и только в том случае, если S), cz S)„.
386
часть 3. банаховы алгебры и спектральная теория
(с) Для каждой измеримой функции /: Q—> C
(4) V([)* = W(J) и
(5) V(f)W(f)- = W(\f\2) = W(frW(f).
Доказательство. Если xG<3>f, то отображение '/—*\fdEXi1J олргделяет ограниченный сопряженно-линейный
функционал на пространстве Н, норма которого в силу неравенства (2) леммы 13.23 не превосходит J / |2 dEXt 112. Отсюда
следует, что существует единственный элемент 1P(Z) X G Н, удовлетворяющий при всех у G H соотношению (1), причем
(6) iivtf)*p<Smad?*.* ixt®,).
q
Линейность оператора W (f) на ?Df вытекает из соотношения (1), поскольку мера Ex линейно зависит от х.
Сопоставим каждой измеримой функции f ее срезку fn = fq>nt где <р„(р)=1, если \f(p)\^n, и qn(p) = 0, если \f(p)\>n.
Так как при всяком п функция fn ограничена, то eDf_fn = ?Of,
и потому из неравенства (6) и теоремы Лебега об ограниченной сходимости следует, чго
(7) \\V(f)x-W(fn)x\\*^l\f-fn\*dEXtX-^0 при л->со
9.
для любого x(t&>f. Поскольку функции fn ограничены, для них выполняются соотношения вида (2) (георема 12.21); но тогда в силу (7) соотношение (2) выполняется и для функции /.
Итак, мы доказали все, что входит в утверждение (а), за исключением замкнутости оператора W ($)\ последняя же получается из теоремы 13.9, если соотношение (4) (которое вскоре
будет доказано) применить к функции f вместо f. Переходим к доказательству утверждения (Ь). Предположим сначала, что функция / ограничена, Тогда
Q)jgcL&)g. Если г^Я и v = W (f)z, то соотношение (3) из леммы 13.23 и теорема 12.21 показывают, что
(У (f)V ig) xt Z) = (WIg)X, W(f)z) = (W(g)x, V) =
= \gdEx,v=\ fgdEXtZ = (W(fg)x, z).
q q
Поэтому
(8) V(f)W(g)x = W(fg)x (xG®g, /GL").
гл. 13. неограниченные операторы 387
х) Так как в качестве / в соотношении (9) можно взять характеристическую функцию любого измеримого множества, то dEVi у= \ g \2 dEx х^ откуда и следует заключение, приведенное в тексте.— Прим', перев.
13*
Если y = W(g)xt то из (8) и (2) следует, что
(9) Jl/I'^.*=$ \fg\2dEXiX {х?®е, f?L~).
q q
Пусть теперь f—произвольная (быть может, неограниченная) измеримая функция. Так как равенство (9) выполняется для любой функции f^L0", то оно справедливо и для любой измеримой функции1) f. Подпространство S(W (f)W (g)) состоит, по определению, из всех xZ@)g, для которых ytzi&f, а соотношение (9) показывает, что условие yZSf равносильно условию x€@)fg; поэтому мы видим, что
(10) ^^(^fe^^n^
Если X Z Sg П @>fg, # = Y (g)x, а /"„ — определенная выше срезка функции /, го fn-+f в L2(ElJtU) и fag-*fg в L2 (Eх% х)\ поэтому, применяя соотношение (8) к функциям fn ? L°° и g и учитывая (2), получаем
Y (f) W(g)X = Y (f) Ij=UmW (fn)у = Hm Y(fng)x = W (fg)x,
n -> со n -> со
что вместе с (10) доказывает утверждение (b).
Предположим теперь, что X ZSf и у ZSj = Sf. Из соотношений (7) и теоремы 12.21 следует, что
(V (f) Jf. У) = Hm (Y (f J х, у) - lim (х, Y (fj </) = (х, Y (J) у).
п -> оо /г —V со
Поэтому у ZS(W(IY)1 так что с .@(Y(f)*), и
(11) Y (7) с Y(/)*.
Чтобы перейти Ot(U)K (4), мы должны показать, что всякий вектор z ? (Y (/) *) принадлежит S1. Фиксируем z и положим v = W (JY г. Поскольку ffl = f(pni из свойства мультипликативности следует, что
(12) Y (/„) = Y (/)Y(cpJ.
Так как оператор Y (ф„) самосопряжен, то в силу теорем 13.2 и 12.21 мы заключаем, что
Y (Фп) Y (fY cz [Y (f) W (Фи)]* = Y ([„)• = Y (fn).
388 часть 3. банаховы алгебры И спектральная теория
Поэтому
(13) У(Ч>п)*> = Ч(Тп)г (п = 1, 2, 3, ...).
Поскольку |фя|^1, из соотношений (13) и (2) следует, ЧТО
