Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
и-' (X + у) = (S-1X) + (t-hj)
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 35
2*
лежит в А. Поэтому \*>а(х -\-У)^и- Отсюда следует (а). Свойство (Ь) очевидно, а (с) тривиально следует из (а) и (Ь).
Если [іА (х) < 1, то \?НА(х), так что х?А. Ясно, что если х? А, то \iA(x) ^ 1. Поэтому В cz А с С. Отсюда следует, что для любого X G X выполняются включения Hn (х) cz НА (х) cz Ис (л:), откуда
С целью доказать, что в действительности здесь имеют место равенства, допустим, что \хс(х) < s < t. Тогда S-1X^C, и потому }хл (s~ хлг) ^ 1, так что
MА <-f<l.
Следовательно, t~1x?B1 откуда \iB(t~xx)^\ и \iB(x)^t. Щ
1.36. Теорема. Пусть 33—выпуклая уравновешенная локальная база в топологическом векторном пространстве X. Сопоставим каждой окрестности V ^ 93 ее функционал Минковского \iv. Тогда {\iv: V '€ 93)—разделяющее семейство непрерывных полунорм на X
Доказательство. Поскольку V—выпуклое уравновешенное поглощающее множество, \xv является полунормой. Если XЄ X и %Ф0, то X(^V для некоторой окрестности V^93; ясно, что тогда (Ltv (х) ^ 1. Таким образом, |p,F} — разделяющее семейство. Если X^V1 то, поскольку V открыто, tx?V для некоторого ^>1. Следовательно, ит(х)<1 при x?V. Если г > О, то из теоремы 1.34 следует, что
I \Ч (x) — liv (У) I < (х-У) < г при X—у ^rV. Поэтому все \iv непрерывны. Щ
1.37. Теорема. Пусть 3*—разделяющее семейство полунорм на векторном пространстве X. Сопоставим каждой полунорме р 6 9* и каждому целому положительному числу п. множество
V(P1 п) = {х: р(х) <ij.
Пусть 93—совокупность всех конечных пересечений множеств V(P1 п). Тогда 93—выпуклая уравновешенная локальная база топологии т в X1 превращающей X в локально выпуклое пространство, причем
(a) все полунормы р ?3* непрерывны относительно т;
(b) множество Ecz X ограничено тогда и только тогда, когда каждая полунорма р^Зъ ограничена на Е.
Доказательство. Объявим множество AcX открытым в том и только в том случае, когда оно является объединением
36
ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
(быть может, пустым) сдвигов некоторых множеств из ЗВ~ Ясно, что таким способом мы получаем инвариантную относительно сдвигов топологию т на X; каждое множество из ЗВ выпукло и уравновешено, и ЗВ является локальной базой топологии т.
Пусть x G X и x Ф 0. Тогда р (х) > 0 для некоторой полунормы р (E Зъ. Если пр(х) > 1, то x^V (р, п), так что 0 не принадлежит окрестности x—V (р, п) точки х, и потому x не лежит в замыкании множества {0}. Таким образом, {0} — замкнутое множество, z так как топология т инвариантна относительно сдвигов, то любая точка в X является замкнутым множеством.
Теперь мы покажем, что сложение и умножение на скаляры непрерывны. Пусть U—окрестность нуля в X; тогда
(1) U=>V(pu h1)O ... П V(pm, пт)
для некоторых рг, ..., рт€9* и некоторых целых положительных Положим
(2) V = V(P1, 2Лі)П...П^(ря, 2яв).
Так как каждая полунорма полуаддитивна, то V-\-VcU. Этим доказана непрерывность сложения.
Пусть теперь а—скаляр, х? X, a U и V—рассмотренные выше окрестности нуля. Тогда х ^sV для некоторого s > 0. Положим / = s/(l -f-1 сс J s). Если y€.x-\-tV и |р—ce|<l/s, то вектор
?#—ах = ? (у—х) 4- (? —а) x
принадлежит множеству
l?l^ + |P— ct\sVcV + VcU
{здесь мы воспользовались уравновешенностью V и легко проверяемым неравенством |?|?^l). Это показывает, что умножение на скаляры непрерывно.
Таким образом, (X, т)—локально выпуклое пространство. Непосредственно из определения V(р, п) следует, что каждая' полунорма р ^ 3і непрерывна в нуле; в силу утверждения (Ь) теоремы 1.34 такая полунорма непрерывна на всем X.
Наконец, предположим, что множество Ec X ограничено. «Фиксируем некоторую полунорму рG3і. Так K^kV(р, 1) является окрестностью нуля, то EckV (р, 1) для некоторого конечного положительного k. Но тогда р (х) < k для всех х?Е. Таким образом, каждая полунорма р G 3і ограничена на Е.
Допустим теперь, что E удовлетворяет последнему условию. Пусть U—окрестность нуля, и пусть V (Pi, п.;) выбраны так, что выполняется условие (1). Существуют такие числа M1 <<х>, что Рі<.Мі на E (l^i ^m). Отсюда следует, чго EcnU, если іі>МіПі при \^.і^т. Поэтому множество E ограничено. Щ
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
37
1.38. Замечания, (а) При доказательстве теоремы 1.37 действительно необходимо было рассматривать конечные пересечения множеств V (р, п). Дело в том, чго семейство 3B0 всех множеств V (р, п) может не быть локальной базой ни для какой топологии в X (это семейство 3B0 обычно называют предбазой построенной топологии т). Чтобы привести такой пример, возьмем в X = R2 семейство 3і, состоящее из двух полунорм P1, р2, определенных условиями Pi(X) = Ix1I (здесь (хг, x2)=x(tR2)- Упражнение 8 развивает это замечание.
(b) Теоремы 1.36 и 1.37 приводят к следующей естественной задаче. Если —выпуклая уравновешенная локальная база топологии т локально выпуклого пространства X, то, согласно теореме 1.36, SB порождает разделяющее семейство 3і непрерывных полунорм на X. В свою очередь это семейство 3і способом, опи-•санным в теореме 1.37, индуцирует в X топологию T1. Верно ли,
