Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
1.32. Теорема. Пусть X и Y—топологические векторные пространства, а А: X—> V—линейное отображение. Рассмотрим следующие свойства, которыми может обладать (или не обладать) отображение А:
(a) Л непрерывно;
(b) Л ограничено;
(c) если хп—> O, то множество {Axn: п= I1 2, ...} ограничено;
(d) если хп—>0, то Axn—>0.
Справедливы импликации (а) => (Ь) => (с). Если пространство X метризуемо, то выполняются также импликации (с) =>- (d) (а), так что в этом случае все четыре свойства эквивалентны.
В упражнении 13 приведен пример, показывающий, что в общем случае из (Ь) не следует (а).
Доказательство. Допусгим, что выполняется (а). Пусть E—ограниченное подмножество в X, a W—окрестность нуля в Y. Так как Л непрерывно (и Л0 = 0), то в X найдется такая окрестность нуля V, что A(V)CiW. Поскольку E ограничено, E ei tV для всех достаточно больших t, так что
A(E) с A(W) = tA(V) ei tW.
Это показывает, что A(E)—ограниченное множество в Y.
Таким образом, (а)=>(Ъ). Так как сходящиеся последовательности ограничены, то (Ь) (с).
Предположим теперь, что X метризуемо и что Л обладает свойством (с). Пусть хп—> O. По теореме 1.28 найдется такая последовательность положительных скаляров уп —> оо, что упхп —»¦ 0.
Тогда {А(упхп)\—ограниченное множество в Y, и из теоремы
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
за
1.30 следует, что
= Yn1A (упхп) —* 0 при п —> оо.
Наконец, предположим, что (а) неверно. Тогда в Y найдется такая окрестность нуля W', что Л-1 (U^) не содержит никакой окрестности нуля в X. Поэтому если X имеет счетную локальную базу, то в X найдется такая последовательность {хп}, что хп—>0, но Axn^W. Таким образом, (с!) не выполняется.
Полунормы и локальная выпуклость
1.33. Определения. Полунормой на векторном пространстве X называется такая вещественная функция р на X, что
(a) р{х + у)^р(х) + р{у);
(b) р(ах) = \а\р{х)
для всех X и у из X и всех скаляров а.
Свойство (а) называется полуаддитивностью. В теореме 1.34 будет показано, что если полунорма р удовлетворяет условию
(c) р (х) Ф О при X Ф О, то она является нормой.
Семейство 3і полунорм на X называется разделяющим, если для каждого хфО найдется хотя бы одна полунорма р?!Р, для которой р(х)фО.
Далее, рассмотрим выпуклое множество AcX, которое является поглощающим в том смысле, что любая точка х G X принадлежит tA для некоторого t = t(x)Z> 0. [Например, из утверждения (а) теоремы 1.15 следует, что каждая окрестность нуля в топологическом векторном пространстве является поглощающим множеством. Любое поглощающее множество, очевидно, содержит 0.] Функционал Минковского \хА множества А определяется формулой
цА (х) = inf {t > 0: Г1* Є A} (X Є X).
Заметим, что \kA (х) <оо для всех х?Х, поскольку А предполагается поглощающим. Оказывается, что полунормы на X—это в точности функционалы Минковского всевозможных уравновешенных выпуклых поглощающих множеств.
Полунормы тесно-связаны с понятием локальной выпуклости. А именно, в локально выпуклом пространстве существует разделяющее семейство непрерывных полунорм. Обратно, с помощью любого разделяющего семейства полунорм 9* на векторном пространстве X можно определить в X такую локально выпуклую топологию, относительно которой все полунормы р G 9s непрерывны. Этот метод часто используется для введения топологии. Подробности содержатся в теоремах 1.36 и 1.37.
2 Кч 871
34 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
1.34. Теорема. Пусть р— полунорма на векторном пространстве X. Тогда
(a) р (0) = 0;
(b) \р(х)—р(у)\^р(х—у);
(c) р {X) > 0;
(d) \х: р(х)=0\ является подпространством в X)
(e) множество В = {х: р (х) < 1} является выпуклым, уравновешенным и поглощающим, причем р = цв.
Доказательство. Утверждение (а) получается из условия р (ах) = \а \ р (х) при а = 0. Из пол у аддитивности р следует неравенство
р (х)=р(х—у-\-у) < р (х—у)-\-р (у),
так что р (х) — р (у) ^ р (х—у); справедливо такое же неравенство с переменой ролей X и у. Так как р(х—у)=р(у—х), то отсюда следует (Ь). Из (Ь) при # = 0 вытекает (с). Если р (х) = р (у) = 0 и а, ?—скаляры, то в силу (с)
0<p(ax + ?#)<|a|p(x) + |{}|p(*/) = 0,
откуда получаем (d).
Что касается (е), то ясно, что В уравновешено. Если х?В, у € ? и 0< f < 1, то
p(tx + (\-t)y)^tp (x) + (\-t)p(y)< 1.
ПОЭТОМУ В ВЫПуКЛО. ЕСЛИ Х € X И S > р (Х), ТО р (S-1X)=S-1P (х)< 1.
Это показывает, что В является поглощающим и что [iB(x)^.s. Поэтому \iB^.p. Но если 0 <Ct z^p(x), то р (і~гх)^ \, так что t~xx не принадлежит В. Отсюда следует, что р (х) ^ \ів (х). Ц
1.35. Теорема. Предположим, что А—выпуклое поглощающее множество в векторном пространстве X. Тогда
(a) ЦА(х-\-у)^\іД(х) + ііА(у);
(b) \iA (tx) = t\iA (х) при t ^ 0;
(c) если А уравновешено, то \кА является полунормой;
(d) если В = {х: \iA (х)<1} иС = {х: цА(х)^\\, то BcAaC
и Vb = Va=Vc-
Доказательство. Сопоставим каждому х ? X множество
HA(x) = {t>0: t'H Є А).
Допустим, что t?HA(x) и s > t. Тогда, поскольку 0 € А и А выпукло, s?HA (х). Поэтому НА (х) представляет собой полупрямую с левым концом в точке \iA (х).
Пусть \.iA(x)<Cs, \іА{У) <t и u = s-\-t. Тогда s~xx?A и t~1y?A, а так как А выпукло, то точка
