Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 6

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 171 >> Следующая

Доказательство. Мы начнем с доказательства следующего утверждения, которое будет полезно и в других случаях:
Для всякой окрестности нуля WeX найдется такая окрестность нуля U, которая симметрична (в том смысле, что U =— U) и удовлетворяет условию U-\-UcW.
Чтобы убедиться в этом, заметим, что из равенства 0-4-0 = 0 и непрерывности сложения следует существование таких окрестностей нуля V1, V2, что V1-^-V2CiW. Полагая
г/=^п^п(-^)п(-^),
получаем окрестность нуля U, обладающую нужными свойствами.
Применяя доказанное утверждение к U вместо W, получим новую симметричную окрестность нуля U, для которой
U + U + U + UcW.
Ясно, что этот процесс можно продолжить.
гл. 1. топологические векторные пространства
17
Если К — 0у то /С +V = 0 и утверждение теоремы тривиально. Предположим поэтому, что К?=0, и рассмотрим некоторую точку X ? К- Так как замкнутое множество С не содержит х и так как топология в X инвариантна относительно сдвигов, то из доказанного выше утверждения следует существование такой симметричной окрестности нуля Vx, что X + Vx + Vx-f Vx не пересекается с С; при этом из симметричности Vx следует, что
(D (x + Vx + Vx)(]{C + Vx) = 0.
Поскольку К компактно, в нем найдется такое конечное множество точек X1, . . ., Xn, что
Kc{xx + Vx)U ...\](xn + VXn).
Положим V = VXif\ ... П VXn. Тогда
К + Vс: _U (X1 + Vx. + V) с= t U (X1 + Vx. + Vx.),
а в силу (1) ни одно из множеств х,--\-Vx.-f Vx. не пересекается с C + V. в
Так как множество С-j-V открыто, то верно даже, что замыкание множества К + V не пересекается с C-f-V; в частности, замыкание К + V не пересекается с С. Значительный интерес представляет следующий частный случай этого утверждения, получающийся при /С = {0}.
1.11. Теорема. Если SB—локальная база топологического векторного пространства X, то каждая из входящих в нее окрестностей нуля содержит замыкание некоторой другой окрестности нуля из SB.
До сих пор мы не пользовались предположением, что каждая точка пространства X является замкнутым множеством. Теперь мы воспользуемся этим и применим теорему 1.10 к паре различных точек вместо К и С. В результате получим, что эти точки имеют непересекающиеся окрестности. Иными словами, выполняется аксиома отделимости Хаусдорфа:
1.12. Теорема. Каждое топологическое векторное пространство является хаусдорфовым.
Теперь мы установим некоторые простые свойства операций замыкания и взятия внутренности в топологическом векторном
пространстве. По поводу обозначений E и Е° см. п. 1.5. Отметим, что точка р принадлежит E тогда и только тогда, когда всякая ее окрестность пересекается с Е.
1.13. Теорема. Пусть X—топологическое векторное пространство.
18
часть 1. общая теория
(a) Если AcX1 то А = П (A + V)1 где V пробегает все окрестности нуля.
(b) Если AcX и BcX1 то A +BcA+ В.
(c) Если Y — подпространство пространства X, то Y тоже подп ространство.
((1) Если С—выпуклое подмножество в X1 то С и С° тоже выпуклы.
(e) Если В—уравновешенное подмножество в X1 то В тоже уравновешено; если при этом Q(EF3, то B0 уравновешено.
(f) Если E—ограниченное подмножество в X1 то Ё тоже ограничено.
Доказательство, (а) х?А тогда и только тогда, когда (x + V) {} АФ 0 для любой окрестности нуля V, а это возможна лишь в том случае, когда х ? А—V для любой окрестности нуля V. Так как —V является окрестностью нуля тогда и только тогда> когда V — окрестность нуля, то утверждение доказано.
(b) Пусть а Є A, b?B и W—окрестность точки а + Ь. Существуют такие окрестности W1 и W2 точек а и Ь соответственно, чго W1 + W2C=W. Так как а?А и Ь?В, то найдутся точки х? Af)Wj и у ^Bf]W2. Тогда вектор х + у принадлежит пересечению (А + В) П W1 так что оно непусто. Следовательно, a + b ? A + B^
(c) Пусть а и ? — скаляры. В силу предложения из п. 1.7 при
афО имеем aY—aY; при а-—0 эти два множества также, очевидно, равны. Поэтому из (Ь) следует, что
aY + $Y=OY + $Y<=aY +flYcY;
для получения последнего включения мы воспользовались тем,, что Y по условию является подпространством.
Доказательства выпуклости замыкания выпуклого множества и уравновешенности замыкания уравновешенного множества так похожи на доказательство (с), что при доказательстве (d) и (е) мы их опустим.
(d) Так как C^cC и С выпукло, то
tCJ + (\ — t)C:cC
при 0 < / < 1. Оба слагаемых в левой части являются открытыми множествами, поэтому их сумма тоже открыта. Поскольку всякое открытое подмножество множества С содержится в С°, отсюда следует выпуклость С°.
(e) Если 0<|а|^1, то аВ3 = (аВ)°, поскольку отображение X—ах является гомеоморфизмом. Следовательно, аВ° с аВ с В, ибо В уравновешено. Но аВ° открыто, так что аВ°сВ°. Если BJ содержит 0, то аВ3сВ° и при а=-^0.
гл. 1. топологические векторные пространства
19
(f) Пусть V—окрестность нуля. По теореме 1.11 найдется
такая окрестность нуля W, что WcV. Так как E ограничено, то ECtW для всех достаточно больших положительных t. Для
таких t имеем EctWctV. Щ
1.14. Теорема. В топологическом векторном пространстве X
(a) каждая окрестность нуля содержит уравновешенную окрестность нуля;
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed