Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(b) каждая выпуклая окрестность нуля содержит уравновешенную выпуклую окрестность нуля.
Доказательство, (а) Пусть U—окрестность нуля в X. Так как умножение на скаляры непрерывно, то найдутся такое 6>0 и такая окрестность нуля К в X, что aVcU при |а|<б. Пусть W—объединение всех таких множеств aV. Тогда W — уравновешенная окрестность нуля и Weil.
(b) Пусть U—выпуклая окрестность нуля в X. Положим A-- f\aU, где а пробегает все скаляры, по модулю равные 1. Выберем окрестность W как в доказательстве (а). Поскольку W уравновешена, a~lW— W при |а|=1; следовательно, W caU. Поэтому WcA, откуда следует, что внутренность А° множества А является окрестностью нуля. Ясно, что A°cU. Будучи пересечением выпуклых множеств, А выпукло; следовательно, А° тоже выпукло. Чтобы доказать, что Аа является искомой окрестностью, мы должны показать, что A0 уравновешено; для этого достаточно установить, что А уравновешено. Выберем г и ? так, что 0^ 1, IPI = I. Тогда
фА = П rfteU = Г) rail.
N=I IaI=I
Так как aU — выпуклое множество, содержащее 0, то railCaU Таким образом, фАсА. Щ
Теорему 1.14 можно сформулировать в терминах свойств локальной базы. Будем говорить, что локальная база SB уравновешена, если ее элементы являются уравновешенными множествами; аналогично назовем локальную базу выпуклой, если она состоит из выпуклых множеств.
Следствие, (а) Каждое топологическое векторное пространство обладает уравновешенной локальной базой.
(Ь) Каждое локально выпуклое пространство обладает уравновешенной выпуклой локальной базой.
Напомним также, что для каждой из этих локальных баз справедлива теорема 1.11.
1.15. Теорема. Пусть V—окрестность нуля в топологическом секторном пространстве X.
20
часть 1. общая теория
(a) Если 0 < t1 < г2 < ... и гп —> оо при п * оо, то
X= U /-„V.
л= 1
(b) Каждое компактное подмножество К пространства X ограничено.
(c) Если окрестность V ограничена и O1 > 62 > ..., On —>O при п —> оо, то семейство
{OnV: /1 = 1, 2, ...}
является локальной базой пространства X.
Доказательство, (а) Фиксируем точку х?Х. Так как отображение а—>ах поля скаляров в X непрерывно, то множество всех тех а, для которых ах?V, открыто; оно содержит О и потому содержит XIrn для всех достаточно больших п. Таким образом, (XJrn) х ?V, или x?rnV, при больших п.
(b) Пусть W—такая уравновешенная окрестность нуля, что WdV. Согласно (а),
Ka U nW.
п= i
Поскольку К компактно, найдутся такие целые nt <... <ns, что
KdH1WUn2WU . .. UnsW = nsW
(последнее равенство справедливо ввиду уравновешенности W). Отсюда следует, что KdtWdtV при t > ns.
(c) Пусть U—окрестность нуля в X. Если окрестность V ограничена, то найдется такое s > О, что VdW при всех t > s. Таким образом, если п настолько велико, что s6„ < 1, то Vd(XlSn) U. Поэтому U фактически содержит все множества UnV\ кроме, быть может, конечного числа. В
Линейные отображения
1.16. Определения. Если X и Y—множества, запись
/: X-+Y
будет означать, что / является отображением X в К. Если AdX и BdY, то образ f (А) множества А и обратный образ, или прообраз, f_1(B) множества В определяются условиями
f (A) = U(X): х? A}, f-i (В) = {х: f(x)?B\.
Предположим теперь, что X и Y — векторные пространства над одним и тем же полем скаляров. Отображение Л: X—*-Y называется линейным, если
Л (ах -f f>y) = аЛх -f- Ay
гл. 1. топологические векторные пространства
21
для всех X и у из X и всех скаляров а и ?. Заметим, что если отображение Л линейно, то вместо А(х) часто пишут Ах.
Линейное отображение пространства X в его поле скаляров называется линейным функционалом.
Например, операторы умножения М% из п. 1.7 линейны, а операторы сдвига Та таковыми не являются, за исключением случая а — О.
Приведем некоторые свойства линейных отображений Л: X—> K; доказательства настолько просты, что мы их опускаем; предполагается, что А с: X и В cz Y.
(a) Л0 = 0.
(b) Если А — подпространство (или выпуклое множество, или уравновешенное множество), то же самое верно и для A(A).
(c) Если В — подпространство (или выпуклое множество, или уравновешенное множество), то же самое верно и для Л-1 (В).
(d) В частности, множество
A-1W) = IxZX: Ax--= 0}=о!\Г(Л)
является подпространством пространства X и называется нулевым пространством, или ядром, отображения Л.
Обратимся теперь к свойствам непрерывности линейных отображений.
1.17. Теорема. Пусть X и Y—топологические векторные пространства. Если линейное отображение А: X—>Y непрерывно в точке О, то оно непрерывно. В действительности А даже равномерно непрерывно в следующем смысле: для каждой окрестности нуля WeY найдется такая окрестность нуля VeX, что
из у—x?V следует Ay—Ax^W.
Доказательство. Если окрестность W выбрана, то непрерывность Л в точке 0 показывает, что AV cz W для некоторой окрестности нуля V. Если теперь у—x?V, то из линейности Л следует, что Ay—Ах=~-А(у—x)?W. Таким образом, Л отображает окрестность а; —|- V" точки х в окрестность Ax-{-W точки Ах, а это означает, что Л непрерывно в точке х. Щ
1.18. Теорема. Пусть А—линейный функционал на топологическом векторном пространстве X. Допустим, что Ax Ф 0 для-некоторого х?Х. Тогда следующие четыре свойства эквивалентны:
