Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Если B1 и B2—концентрические замкнутые шары в R", причем B1 лежит внутри B2, то существует такая функция <p ? Сх (R"),. что ф {х) = 1 для всех X^B1 и ф (х) = 0 для всех х, лежащих вне B2.
Чтобы указать такую функцию ф, мы для каждой пары чисел a, b(Q<a<b<oo) построим функцию g ? С* (R1), для которой g (х) = 0 при х<.а и g(x)=\ при х > Ь, и положим
(6) 9(X1, xn) = \—g(xl+...+xn)
гл. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
45
(предполагается, что общий центр шаров B1 и B2 лежит в начале). Описанная ниже конструкция функции g имеет то преимущество, что с ее помощью при подходящем выборе последовательности {6,} можно строить функции, обладающие другими полезными свойствами. —
Пусть 0<o<&<oo. Выберем такие положительные числа ^e» ^1, 62, что ^?$i = b—а, и положим
(7) m"^5L2n.8n (« = 1,2,3,...).
Пусть /0—такая непрерывная монотонная функция, что f0(x)=0 при X < а и /0 (х) — 1 при X > a + ^0J положим
X
(8) f*{*)=¦$¦ § fn-i(*)dt (/1 = 1,2,3,...).
Дифференцируя этот интеграл и применяя индукцию, легко получаем, что/„имеет п непрерывных производных и что \Dnfn\^lmn> Если п > А, то
о
откуда снова с помощью индукции по п получаем, что
(10) \DrfnKtnr (п>г).
Применяя теорему о среднем значении, из (9) и (10) легко вывести оценку
(11) I ТУU-DTfn^ I <mr+A (п > г + 2).
Так как < оо, то при любом фиксированном г последовательность {Drfn\ равномерно сходится на всей оси при п—>оо. Поэтому последовательность {/„} сходится к функции g, для которой I Drg I ^ тг при /¦ = 1,2,3, ..., причем g (х) = 0 для х < а и g (х) = \ для X > Ь.
1.47. Пространства LP при 0<р< 1. Фиксируем некоторое из указанной области. Элементами пространства Lp служат такие измеримые по Лебегу функции / на [0, 1], для которых
і
(1) A(/) = $|/(/)M*<oo;
о
при этом, как обычно, функции, совпадающие почти всюду, отождествляются. Так как 0<р< 1, то при а^О и Ь^О выполняется неравенство
(2) (a + b)Pi?.aP + bPm
46
ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
Поэтому
(3) A(/+^<A(/) + A(g),
так что формула
(4) d(f,g)=A(f-g)
определяет инвариантную метрику в LP. Полнота этой метрики доказывается точно так же, как в хорошо известном случае р ^ 1. Шары
(5) Br = {f?U>i А (/)<'}
образуют локальную базу топологии в LP. Так как B1 = r~l/pBr для всех г > О, то B1—ограниченное множество.
Таким образом, LP—локально ограниченное F-пространство.
Мы утверждаем, что в Ьр нет выпуклых открытых множеств, отличных от 0 и LP.
Действительно, предположим, что V — непустое выпуклое открытое множество в LP. He ограничивая общности, можем считать, что 0?V. Тогда VzDBr для некоторого г > 0. Фиксируем Так как р < 1, то найдется такое положительное целое п, что пР~гА (/) < г. В силу непрерывности неопределенного интеграла от 1/I^ существуют такие точки
0 = X0 <С X1 <С . .. <С Xn = 1,
что
хі
(6) J |/(0 |Mf =/1-1 А (/) (1<і<л);
положим gj(t) = nf (t), если ^JC1-, и gi(Q=O в противном
случае. Тогда g,- ? К, поскольку из (6) следует, что
(7) Д(&)-л'"1 А (/)<г (1<1-<л),
а V із ?r. Так как К выпукло и
(8) /-^ (Я,+ ...+&.).
то /?V\ Поэтому V = ZA
Отсутствие нетривиальных выпуклых открытых множеств приводит к такому любопытному следствию.
Пусть A: Lp—*Y — непрерывное линейное отображение Lp в некоторое локально выпуклое пространство У. Пусть 93—выпуклая локальная база в Y. Если W ^ 93, то множество A"1 (W) выпукло, открыто и непусто. Поэтому A~l (W)=Lf. Следовательно, A(LP)czW для любой окрестности нуля W?93. Отсюда мы заключаем, что А/ = 0 для всех f?Lp.
Таким образом, если 0 < р < I, то для любого локально выпуклого пространства Y отображение, тождественно равное 0,
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
47
является единственным непрерывным линейным отображением LP в Y. В частности, О—единственный непрерывный линейный функционал на таком пространстве LP.
В этом состоит одно из существенных отличий случая 0 < р < 1 от хорошо известного случая р ^ 1.
Упражнения
1. Пусть X—векторное пространство. Все множества, фигурирующие в этом упражнении, считаются его подмножествами. Вывести из аксиом, приведенных в п. 1.4, следующие утверждения (некоторыми из них мы уже молчаливо пользовались в тексте):
(a) Если х?Х и у?Х, то существует единственный вектор z?X, для которого х-\-г~у.
(b) Если а—скаляр, а х?Х, то (к — 0=<х0.
(c) 2А аА-\-А\ при этом может статься, что 2А Ф- A-J-А.
(d) Множество А выпукло тогда и только тогда, когда (s-\-t) A =sA -\-tA для всех положительных скаляром s и t.
(e) Объединение и пересечение любого семейства уравновешенных множеств являются уравновешенными множествами.
(f) Пересечение любого семейства выпуклых множеств выпукло.
(g) Объединение линейно упорядоченного относительно включения семейства выпуклых множеств является выпуклым множеством.
(h) Если А и В выпуклы, то Л \-В выпукло.
(i) Если А и В уравновешены, то А-\-В уравновешено.
(j) Показать, что утверждения (f), (g) и (п) остаются справедливыми, если заменить выпуклые множества подпространствами.
2. Выпуклой оболочкой множества А в векюрпом пространстве X называется множество всех выпуклых комбинаций элементов из А, т. е. множество всех сумм
