Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Так как я-1 (А П В) = л'1 (А) П л'1 (В) и
то Tn—топология. Множество FczXfN является т^-замкнутым тогда и только тогда, когда т-замкнуто множество л'1 (F). В част-
40
ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
пости, каждая точка пространства XjN есть замкнутое множество, поскольку
я-1 (л {х)) = N + je,
a N предполагается замкнутым.
Непрерывность л следует непосредственно из определения Тд,^ Далее, допустим, что V^t. Так как
я-1 (п (V)) = N+ V
и N + V ^т, то л (V) ? Tn. Значит, отображение я открыто.
Пусть W—окрестность нуля в XJN; тогда найдется такая окрестность нуля VbX, что
V +VcJt-1O*7)-
При этом л (V) + я (V) с: W. Так как я открыто, то я (V) является окрестностью нуля в X/N. Поэтому сложение в XjN непрерывно.
Непрерывность умножения на скаляры в XjN доказывается таким же способом. Справедливость (а) установлена.
Ясно, что из (а) следует (b). С помощью теорем 1.32, 1.24 к 1.39 совсем легко убедиться, что из (Ь) вытекает (с).
Предположим, далее, что d—инвариантная метрика в X^ совместимая с т. Определим р по формуле
р(я(х), л(у)) = Ы{а(х—у, z): z?N\;
р можно интерпретировать как расстояние от х—у до N. Мы опускаем проверку того, что функция р корректно определена на XfN и является инвариантной метрикой. •
В частности, если X—нормированное пространство и метрика d в X порождена нормой, то формула
И я (je) И - inf{|| х-z И: z?N\
корректно определяет в X/N такую норму, что индуцированная сю метрика в XjN совпадает с введенной выше метрикой р; эта норма в XfN обычно называется факторнормой. В общем случае
л({х?Х\ d(x, 0)<r}) = {u?X/N: р (и, 0) < г},
откуда в силу (Ь) следует, что метрика р совместима с топологией rN. Поэтому для доказательства справедливости (d) достаточно показать, что если метрика d полна, то метрика р тоже полна.
Пусть {ип\— последовательность Коши в X/N относительно метрики р. В ней найдется такая подпоследовательность [ип\>
что р (Un., Un г) < 2~'. Действуя по индукции, можно так выбрать элементы x16X, что я(x1) = ип. и d(xh лгй1)<2~'. Если метрика d полна, то последовательность Коши {л:,} сходится к не-
ГЛ. I ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
41
!которой точке X ?Х. Из непрерывности л следует, ЧТО Un —+Il(x)
при і —voo. Но если последовательность Коши содержит сходящуюся подпоследовательность, то сама она тоже сходится. Следовательно, метрика р полна.
1.42. Теорема. Предположим, что N и F—подпространства топологического векторного пространства X, причем N замкнуто, a F конечномерно. Тогда подпространство N-]-F замкнуто.
Доказательство. Пусть л—факторотображение X на пространство X/N, снабженное фактортопологией. Тогда л (F) — конечномерное подпространство в XfN; так как X/N —топологическое векторное пространство, то из теоремы 1.2 і следует, что л; (F) замкнуто в XfN. Поскольку N-{-F = л~г (л (F)), а л непрерывно, мы заключаем, что N F замкнуто. [Ср. с упр. 20.1 Ш
1.43. Полунормы и факторпространства. Предположим, что р — полунорма в векторном пространстве X, и пусть
N = {x: р(х) = 0\.
Тогда N — подпространство в X (теорема 1.34). Пусть л—факторотображение X на XfN; положим
р(л(х))=р(х).
Если л(х) = л(у), то р(х—у) — 0; поскольку
\р(х)—р(у)\<р(х—у),
отсюда следует, что р (л (х)) -^p (л (у)). Таким образом, функция р корректно определена на XfN; легко проверить, что она является нормой в XfN.
Вот хорошо известный пример. Фиксируем некоторое г, 1 ^ г < оо; пусть U—пространство всех измеримых по Лебегу ¦функций на [О, 1], для которых
Io )
Тем самым мы определили на U полунорму, которая не является нормой, ибо 11/11,. = 0 всякий раз, когда / = 0 почти всюду. Пусть N — множество всех таких «нулевых функций». Тогда UfN—банахово пространство; именно оно обычно и обозначается Z/. Норма в «исправленном» U получается переходом от р к р.
Примеры
1.44. Пространства C(Q). Если Q—непустое открытое множество в некотором евклидовом пространстве, то Q является ¦объединением счетного числа компактных множеств КпФ0, ко-
42
ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
торые могут быть выбраны так, чтобы Kn содержалось во внутренности Kn+1 (л —1,2, 3, ...). Векторное пространство C(Q) состоит из всех комплексных непрерывных функций на ?2; топология в нем задается разделяющим семейством полунорм
(1) /Л. (/)= supilf : X ? Kn}
в соответствии с теоремой 1.37. Так как P1 ^ рг ^ ..., то множества
(2) V„ = {/€C(Q): Pa(f)<±} (,! = 1,2,...)
образуют выпуклую локальную базу этой топологии. Согласно замечанию (с) п. 1.38, топология пространства C(H) совместима с метрикой
Если {/г-} — последовательность Коши относительно этой метрики,, то pn(ji—fj)—> O при г, /—^оо для любого п, так что последовательность {/,} равномерно сходится на каждом Kn к некоторой функции / Є С (Q). Простые вычисления показывают, что d\Uli)—Таким образом, d—полная метрика. Мы доказали, что С (Q) является пространством Фреше.
Согласно утверждению (Ь) теоремы 1.37, множество E CiC(Q) ограничено тогда и только тогда, когда существуют такие числа Mn < со, что Pn(D^Mn для всех f?E и всех п, или, в более явной форме,
