Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
A(Ot11 .... OtJ=Ct1U1+... 4-(XnH11,
и из непрерывности операций векторного пространства в Y снова следует непрерывность Л. Поскольку Л—изоморфизм, {w1, ..., Un)—базис в пространстве К. Следовательно, существуют такие линейные функционалы у1У ...,уп на Y, что каждый вектор X?Y единственным способом представим в виде
x = Yi (х) w1+... -\-уп(х) Un.
Ядро функционала Y1- является подпространством в Y размерности ті — Г, в силу предположения о справедливости Рп-г оно замкнуто в У. Следовательно, по теореме 1.18 функционал yt непрерывен. Поскольку
A-^ = (Y1(jc), ...,y«W) (x€Y)t •отсюда вытекает непрерывность Л"*1. Поэтому справедливо Pn. Щ
1.22. Теорема. Каждое локально компактное топологическое векторное пространство X конечномерно.
Доказательство. Пусть V — окрестность нуля с компактным замыканием в X. По теореме 1.15 она ограничена, и множества 2""V (я = 1, 2,3, ...) образуют локальную базу в X.
гл. 1. топологические векторные пространства 25
Из компактности V следует существование таких X1, ...,хт в X, что
І/с: (^ + -i-V) U... U (xm+±v).
Пусть Y — векторное подпространство в X, натянутое на векторы Jc1, ..., хт. Тогда dim Y^m. По теореме 1.21 подпространство Y замкнуто в X.
Так как VcV+yV и XY = Y для любого скаляра X=^=Q, то откуда
Va r+r+|v=r+|v.
Продолжая действовать таким же образом, мы увидим, что
Vd n (K + 2-"V).
Поскольку {2""V} — локальная база, из утверждения (а) теоремы 1.13 следует, что Vd Y. Но Y = Y. Таким образом, Vc: Y, откуда kVdY для k=\, 2, 3, ... . Поэтому, согласно утверждению (а) теоремы 1.15, F = X; следовательно, dim X^m.Щ
1.23. Теорема. Если X—локально ограниченное топологическое векторное пространство, обладающее свойством Гейне—Бореллг то оно конечномерно.
Доказательство. По предположению в X существует огра-ниченная окрестность нуля V. Утверждение (f) теоремы 1.13 показывает, что V также ограничено. По свойству Гейне — Бореля V компактно. Это означает, что пространство X локально компактно и потому, согласно теореме 1.22, конечномерно.
Метризация
Напомним, что топология т в множестве X называется метри-зуемой, если в X существует метрика d, совместимая с т. В этом случае шары радиусов 1/я с центром в точке х образуют локальную базу в этой точке. Это дает необходимое условие метризуемости, которое для топологических векторных пространств оказывается также и достаточным.
1.24. Теорема. Если X—топологическое векторное пространство со счетной локальной базой, то в нем существует такая метрика d, что
26
часть 1. общая тбория
(a) d совместима с топологией пространства X;
(b) открытые шары с центром в точке О уравновешены;
(c) d инвариантна, т. е. d(x + z, y + z)—d(x, у) для всех х, у, z?X.
Если пространство X еще и локально выпукло, то метрику d можно выбрать так, чтобы, кролів условий (а), (Ь), (с), она удовлетворяла еще условию
(d) все открытые шары выпуклы.
Доказательство. По теореме 1.14 пространство X обладает такой уравновешенной локальной базой {Vn}, что
(1) Vn + l + Vn+lczVn (п -1, 2, 3, ...);
если X локально выпукло, эта локальная база может быть выбрана так, чтобы каждое из множеств Vn также было выпуклым.
Пусть D—множество всех рациональных чисел г, иредстави-мых в виде
(2) г= % Cn (г)2-»,
п= i
где «двоичный разряд» Cn (г) равен 0 или 1, причем допускается лишь конечное число «разрядов», отличных от О1). Таким образом, каждое г GD удовлетворяет неравенствам Os^ г <1. Положим А (г) = X при r^l, а для гположим
(3) А (г) ^c1 (г) V1 +C2 (г) V2 + cs (г) V3+... .
Заметим, что каждая из этих сумм в действительности конечна. Положим
(4) / (х) = inf {г. х?А (г)} (X G X) и
(5) d(x,y)=f(x-y) (х?Х,у?Х).
Доказательство того, что d обладает нужными свойствами, основывается па включении
(6) А (г) + A (s) cz А (г+ s) (г GD, s GD).
Прежде чем доказывать его, продемонстрируем, как из него выводится справедливость теоремы. Поскольку каждое из множеств A (s) содержит 0, из (6) следует, что
{I) A(r)cz A(r) + A[l — r)cz A(t) при г < t.
1) Иными слешами, D состоит из всех двоично-рациональных чисел гг удовлетворяющих неравенствам 0 < г < 1; каждее такое число г допускает единственную запись в виде конечной двоичной дроби, и коэффициенты Cn (г) в представлении (2) суть последовательные двоичные знаки этой дроби, стоящие после занятой.— Прим. перев.
I
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ BEKTOPIIbIF ПРОСТРАНСТВА
27
Таким образом, семейство множеств {Л (г)} линейно упорядочено относительно теоретико-множественного включения. Мы утверждаем, что
(8) f(x + y)<f(x) + f(y) (х?Х, у?Х).
При доказательстве (8) мы можем, конечно, считать, что правая часть < 1. Фиксируем к > 0. В D найдутся такие г и s1 что
f(x)<r, f(y)<s, r + s<f(x) ! f(y) + z.
Таким образом, х ? А (г), y^A(s) и из (6) следует, что x-\-y€.A(r-\-s). Отсюда получаем (8), поскольку
f(x + tj)^r + s<f (х)-\ f(y) + e,
а є произвольно.
Так как каждое из множеств А (г) уравновешено, то / (л') — = /(—*). Ясно, что /(O) = O. Если хфО, то x(fc Vn = А (2~н) для некоторого я, так что / (х) ^ 2~" > 0.
