Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
где Х[?А, Z4-Si 0, 2^,-=1, а п произвольно. Доказать, что выпуклая оболочка А является выпуклым множеством и совпадает с пересечением всех выпуклых множеств, содержащих А.
3. Пусть X—топологическое векторное пространство. Все множества, фигурирующие в этом упражнении, считаются его подмножествами. Доказать следующие утверждения:
(a) Выпуклая оболочка любого открытого множества является открытым множеством.
(b) Если X локально выпукло, то выпуклая оболочка любого ограниченного множества ограничена (без предположения локальной выпуклости, это, вообще говоря, неверно; см. п. 1.47).
(c) Если А и В ограничены, то А-\-В ограничено.
(d) Если А и В компактны, то А~\-В компактно.
(e) Если А компактно, а В замкнуто, то А -\-В замкнуто.
(f) Сумма двух замкнутых множеств может не быть замкнутым множеством (поэтому включение в утверждении (Ь) теоремы 1.13 может оказаться строгим).
4. Пусть B = {(zlt z2)?C2: |Zi|«S|z2l}- Показать, что множество В уравновешено, но его внутренность не является уравновешенным множеством (ср. с утверждением (е) теоремы 1.13).
48
ЧАСТЬ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
5. Изменится ли объем понятия «ограниченное множество», если в его •определении, приведенном в п. 1.6, требовать только, чтобы для любой окрестности нуля V существовало хотя бы одно такое t > О, что E CZ tV?
6. Доказать, что множество в топологическом векторном пространстве ¦ограничено тогда и только тогда, когда всякое счетное подмножество этого множества ограничено.
7. Пусть X— векторное пространство всех комплексных функций на единичном отрезке [0, 1], наделенное топологией при помощи семейства лолунорм
/М/) = |/(*)| (0 ^ 1).
Эта топология называется топологией поточечной сходимости. Показать, что эта терминология оправдана.
Показать, что u X существует такая последовательность {/«}, что (a) ¦Jfn} 'Сходится к 0 при п—> oo, но (Ь) для любой сходящейся к оо последовательности скаляров Jyn^ последовательность jv„fn} не сходится к 0. [Воспользоваться тем, что множество всех сходящихся к 0 последовательностей комплексных чисел равномощно множеству всех точек отрезка [0, 1).]
Это показывает, что d утверждении (Ь) теоремы 1.28 условие метризуемости не может быть опущено.
8. (а) Пусть 3s — разделяющее семейство полунорм на векторном пространстве X. Обозначим через (? минимальное семейство полунорм на X, содержащее 3і и замкнутое относительно взятия максимума (последнее означает, что если P1 ?(5, р2?® и p = max{Pj, р2), то р?Й). Показать, что применение конструкции, описанной в теореме 1.37, к семействам ff> и (S приводит к одной и той же топологии. Главное отличие (3 от ff* состоит в том, •что 6? непосредственно приводит к локальной базе, а не к предбазе (см. замечание (а) п. 1.38).
(Ь) Пусть (?— разделяющее семейство полунорм на X, замкнутое относительно взятия максимума. Показать, что линейный функционал Л на X непрерывен тогда и только тогда, когда существуют такая полунорма р?б? и такая постоянная M < оо, что \ Ax Mp (х) для всех х?Х.
9. Предположим, что
(a) X и Y — топологические векторные пространства;
(b) Л: X—* Y—линейное отображение;
(c) N — замкнутое подпространство в X;
(d) л: X—>X/N—факторотображение;
(e) Ла: = 0 для всех x?N.
Доказать, что существует единственное отображение f: X/N —*-Y, для которого Л = /'оя, т. е. Ax = J (л (х)} для всех х?X. Доказать, что это отображение f линейно и что непрерывность Л равносильна непрерывности f. Кроме того, Л открыто тогда и только тогда, когда / открыто.
10. Пусть X и Y — топологические векторные пространства, причем dim Y < со, и пусть Л: X —> Y — такое линейное отображение, что Л (X)=K.
(a) Доказать, что отображение Л открыто.
(b) Доказать, что если ядро отображения Л замкнуто, то Л непрерывно.
11. Если N — подпространство ректорного пространства X, то коразмерностью NdX называется размерность фа_ктог)пр6странства X/N.
Пусть 0 < р < 1; доказать, что в пространстве u любое подпространство ^он^ииой itopasMcpносгл всюду плотно (см. п. 1.47).
ncJl' ПуСТЬ dl{Х' у) =' Х~У I и d* (*' ^ = If W-Ф (У) I где <р (X) =х/(\ 4-1XI). ,доказать, что Cf1 и а2— метрики в R, индуцирующие одну и ту же топологию, хотя Cf1 является полной, a d2 нет.
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
49
13. Пусть С — векторное пространство всех комплексных непрерывных функции на [0, 1]. Положим
(Л 8) = [
\f(x)-g(x)\
1 1-І Ї(X)-S(X) I о
dx.
Пусть (С, о) обозначает пространство С с топологией а, индуцированной этой метрикой, а (С, т) — то же пространство С, но с топологией т, индуцированной семейством полунорм
/М/) = І/(*)І (о^жі)
в соответствии с теоремой 1.37.
(a) Доказать, что всякое т-ограничепнос множество в С является также cr-ограничснным; следовательно, тождественное отображение id: (С, т) —> (С, а) переводит ограниченные множества в ограниченные.
(b) Доказать, что тем не менее отображение id: (С, т) —>(С, а) разрывно, хотя (по теореме Лебега об ограниченной сходимости) оно секвенциально непрерывно. Следовательно, пространство (С, т) не метризусмо (см. приложение А6 или теорему 1.32). Показать также непосредственно, что в (С, т) не существует счетной локальной базы.
