Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
ЧТО T = T1?
Ответ на этот вопрос оказывается утвердительным. Чтобы убедиться в этом, заметим, что в силу т-иепрерывности полунорм р G 3і все множества V (р, п), определенные в теореме 1.37, принадлежат Т. Следовательно, T1CZT. Если же W ? 33 и p=\xw, то
W = {x: iiw(X) < \}=V(p, 1);
таким образом, W ? T1 для любого W ? 33. Отсюда следует, что тсгт,.
(c) Если Зр> = \Рі'. і = 1, 2, 3, .. .}—счетное разделяющее семейство полунорм на X, то теорема 1.37 показывает, что 3і индуцирует топологию т со счетной локальной базой. По теореме 1.24 топология т метризуема. В данной ситуации инвариантная относительно сдвигов метрика, совместимая с т, может быть определена прямо по полунормам {р{}. Положим
<1) d(x, У) = У\]~!Рі(ГУ\
Легко проверить, что d является метрикой в X. Чтобы доказать совместимость der, мы покажем, что шары
(2) Br = {x: d(x, 0)<г\ (г>0)
образуют локальную базу для т.
Поскольку каждая полунорма р? непрерывна (теорема 1.37), а ряд (1) равномерно сходится на XxX, функция d непрерывна на XxX; следовательно, каждый шар Вг является открытым множеством. Если W—окрестность нуля, то W содержит пересечение подходящим образом выбранных множеств
<3) V (pi, щ) = pi (X) < (1 < і <k).
38
ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
Если X ? Bn то
(4) тШ<Г (' = 1.2,3,...).
Если г достаточно мало, то неравенства (4) вынуждают величины P1 (х), ..., pk (х) быть столь малыми, что Вг содержится в каждом из множеств (3); следовательно, BrczW при достаточно малых г. Это показывает, что d совместима с т.
Формула (1) обладает значительными преимуществами по сравнению с более сложной конструкцией, описанной в доказательстве теоремы 1.24. Правда, она пригодна лишь для локально выпуклых пространств и даже для них имеет один недостаток: шары, определяемые метрикой (1), не обязательно выпуклы. Соответствующий пример приведен в упр. 18.
1.39. Теорема. Топологическое векторное пространство X нормируемо тогда и только тогда, когда в нем существует выпуклая ограниченная окрестность нуля.
Доказательство. Если пространство X нормируемо и II-II — норма, совместимая с его топологией, то открытый единичный шар \х: Л x Л < 1} является выпуклой ограниченной окрестностью нуля.
Для доказательства обратного утверждения предположим, что V—выпуклая ограниченная окрестность нуля в X. По теореме 1.14 она содержит выпуклую уравновешенную окрестность нуля U\ разумеется, окрестность U также ограничена. Положим
(1) 11*11 = M*)
где и.—функционал Минковского для V.
По утверждению (с) теоремы 1.15 множества rV (г > 0) образуют локальную базу топологии пространства X. Если хфО, то X(^rU для некоторого г > 0; следовательно, ЦдгЦ^г. Поэтому из теоремы 1.35 следует, что (1) определяет норму в X. Из определения функционала Минковского и того факта, что U открыто, вытекает, что
(2) {*: \\x\\<r} = rU
для любого г > 0. Поэтому топология, индуцированная построенной нормой, совпадаете исходной топологией в Х.Щ
Факторпространства
1.40. Определения. Пусть N— подпространство векторного пространства X. Для каждого х?Х обозначим через л(х) класс смежности пространства X по N, содержащий х\ иными словами,
л (х) =x-\-N.
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
39
Классы смежности являются элементами векторного пространства XfN, называемого факторпространстеом пространства X по подпространству N; сложение и умножение на скаляры в X/N определяются формулами
(1) л(х)-\-л(у) = л(х + у), ап(х) = п(ах).
[Отметим, что теперь an(x)=-N, если а = 0. Это отличается от обычных обозначений, введенных в п. 1.4.] Поскольку N является векторным пространством, операции (1) определены корректно. Это означает, что если л(х) = л(х') (т.е. х'—x?N) и л (у)= =л(у'), то
(2) л (х) -\~л (у) = л (л:') + л (у'), ал (л:') ==сш (х).
Нулем в XjN служит л(Q) = N. В силу (1) л является линейным отображением X на X/N; ядро (нулевое пространство) л совпадает с N; отображение л часто называют фактаротобра-жением (или каноническим отображением) X на XjN.
Допустим теперь, что т — векторная топология в X и что TV—замкнутое подпространство пространства X. Обозначим через Tn совокупность всех таких множеств Ecz XfN1 для которых л~1(Е)?х. Оказывается, что Tn является топологией в XfN; она называется фактор топологией. Некоторые свойства фактор-топологии перечислены в следующей теореме. Напомним, что отображение называется открытым, если образы открытых множеств являются открытыми множествами.
1.4 Ї. Теорема. Пусть N—замкнутое подпространство топологического векторного пространства X. Пусть т — топология пространства X, a Tn—определенное выше семейство подмножеств факторпространства XfN.
(a) Tn является векторной топологией в XfN; факторотобра-жение л: X—у XfN линейно, непрерывно и открыто.
(b) Если ЗВ—локальная база для т. то совокупность всех множеств л (V), где V G ЗВ, является локальной базой для tn.
(c) Каждое из следующих свойств пространства X наследуется пространством XfN: локальная выпуклость, локальная ограниченность, метризуемость, нормируемость.
(d) Если X является F-пространством, или пространством Фреше, или банаховым пространством, то тем же свойством обладает XfN.
