Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(4) |/W|<Mn, если f?E и хЄКп.
Так как в каждом множестве Vn найдется функция f, для которой значение рп+1 (f) сколь угодно велико, то все эти множества не ограничены. Таким образом, пространство С (Q) не является локально ограниченным и потому ненормируемо.
1.45. Пространства H(Q). Пусть теперь Q—непустое открытое подмножество комплексной плоскости; определим пространство C(Q), как в п. 1.44, и пусть //(Q)—подпространство в C(Q), состоящее из всех функций, голоморфных в Q. Предел последовательности голоморфных функций, равномерно сходящейся на компактных множествах, является голоморфной функцией; поэтому Я (Q)—замкнутое подпространство в C(Q). Следовательно, H (Q) является пространством Фреше.
Мы покажем сейчас, что H (Q) обладает свойством Гейне — Бореля. В силу теоремы 1.23 отсюда будет следовать, что Я (Q) не является локально ограниченным и потому ненормируемо.
Пусть E — замкнутое ограниченное подмножество в N(Q). Тогда E удовлетворяет условию вида (4) из п. 1.44. Поэтому из
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 43
порядком которого называется неотрицательное целое число (3) I a I = Ct1 + • • • + «„•
Если |а| = 0, то Daf = f.
Будем говорить, что комплексная функция f, определенная на некотором непустом открытом множестве QcR", принадлежит пространству С=° (Q), если Daf Є С (Q) для любого мультииндексаа..
Носителем комплексной функции f (на любом топологическом пространстве) называется замыкание множества {х: f(x)=t=0\.
Если К—компактное множество в R", то через @)к обозначается пространство всех функций / g С™ (R")» носители которых содержатся в К (буква ?D постоянно употребляется для обозначения этих пространств с тех пор, как Шварц опубликовал свою работу о распределениях). Если KczQ, то к можно отождествить с соответствующим подпространством пространства С00 (Q).
Теперь мы определимо пространстве С05 (Q) топологию, которая превратит его в пространство Фреше, обладающее свойством Гейне—Бореля, причем для каждого компакта KczQ подпространство @)к окажется замкнутым в С=° (Q).
С этой целью выберем такие компактные множества К{
(і = 1,2, ...), что Ki содержится во внутренности Ki+1 и Q = U /С/.
і
Определим полунормы pN на С°° (Q), N = 1,2,3, полагая
<4) pN(f)=max{\D«f(x)\: x?KN, \cc\^N\.
Они определяют в С=° (Q) метризуемую локально выпуклую топологию (см. теорему 1.37 и замечание (с) п. 1.38). Для каждого
классической теоремы Монтеля о нормальных семействах голоморфных функций (см., например, [44, стр. 201]) следует, что каждая последовательность ]/,-} с: E содержит подпоследовательность, равномерно сходящуюся на компактных подмножествах множества Q (и потому в топологии пространства H (Q)) к некоторой функции f ^H (Q). Так как E замкнуто, то f(tE. Это показывает, что E компактно.
1.46. Пространства С=° (Q) и €ЬК. Мы начнем этот пункт с того, что введем несколько терминов, которыми бу.цем пользоваться также при изложении теории распределений.
Если речь идет о функциях п переменных, то термин мулыпи-индекс всегда будет означать упорядоченную я-строку
(1) a = («i, ••.,?)
неотрицательных целых чисел а,-. С каждым мультииндексом а связан дифференциальный оператор
44
ЧАСТЬ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
л; Є Q функционал f—непрерывен в этой топологии. Так как ?DK является пересечением ядер тех из указанных функционалов, для которых X лежит в дополнении к множеству Ky то» <*DK замкнуто в пространстве С* (Q). Локальная база задается множествами
(5) ^ = |/€С-(й): pN(f)<±-} (А/ = 1,2,3, ...).
Если {/,-}—последовательность Коши в C^(Q) (см. п. 1.25), а. N фиксировано, то —f/ZVjv при достаточно больших і и /V Таким образом, \Daf{—Dafj|< l/N на Kn, если |a|<iV, а ( и / достаточно велики. Отсюда следует, что при любом фиксированном а последовательность {oa/,} равномерно сходится на компактных подмножествах множества Q к некоторой функции ga. В частности, J1 (х) —*gQ (х). Очевидно, что g0 ? О (Q), причем. ga — Dag0 и f;—>g0 в топологии пространства Сж (Q).
Таким образом, С* (Q) является пространством Фреше. То же самое верно для каждого из его замкнутых подпространств S)^.
Рассмотрим теперь замкнутое ограниченное множество E cz С* (Q). По теореме 1.37 ограниченность E эквивалентна существованию таких чисел Mn < °°, что Pn (J)^Mn для всех. / ? E при N = 1, 2, ... .Из неравенств | Daf j ^ Mn, справедливых на Kn при |a|^/V, вытекает, что для любого ? с |?|^A/ — 1 семейство функций {D$f: f€.E) равностепенно непрерывно на Kn-I- Поэтому с помощью теоремы Асколи (доказанной в приложении А) и канторовского диагонального процесса получаем,, что каждая последовательность функций из E содержит такую-подпоследовательность U^, что для любого мультииндекса ? последовательность равномерно сходится на компактных подмножествах множества Q. Следовательно, {/,} сходится в топологии пространства Сх (Q). Это означает, что E компактно.
Таким образом, Сх (Q) обладает свойством Гейне — Бореля.. Из теоремы 1.23 следует, что С* (Q) не является локально ограниченным и потому ненормируемо. То же самое заключение справедливо для ?0% при условии, что К имеет непустую внутренность (в противном случае <3)к = {0}). Последнее утверждение вытекает из следующего предложения:
