Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(a) Л непрерывен;
(b) ядро oN'(A) замкнуто;
(c) ядро (Jf(A) не плотно в X;
(d) функционал А ограничен в некоторой окрестности нуля V.
22
часть 1 общая теория
Доказательство. Так как <Jf(Л) = Л~1 ({0}), а {0}—замкнутое подмножество поля скаляров Ф, то (а) влечет за собой (Ь). По предположению, (Jf(A)=^=X, так что из (Ь) следует (с).
Допустим, что выполнено (с), т. е. что дополнение к (Jf(A) имеет непустую внутренность. По теореме 1.14
(1) (х-г-1Оп<ЛГ(Л) = 0
для некоторого X ? X и некоторой уравновешенной окрестности нуля V. При этом AV—уравновешенное подмножество поля скаляров Ф, так чго либо AV ограничено, и тогда справедливо (d), либо AV-Ф. В последнем случае найдется такой вектор y?Vt что Ay = — Ах, откуца х 4- у ? (Jf (Л), а это противоречит (1). Поэтому (с) влечег за собой (d).
Наконец, если выполнено (d), то |Лл;|<Л/ для всех х ? V и некоторого M < сю. Если г > 0 и W — (r/M) V, то |Лл:| < г для всех x?W. Поэтому Л непрерывен в точке 0. По теореме 1.17 отсюда следует (а). Щ
Конечномерные пространства
1.19. Среди банаховых пространств простейшими являются Т{п и С"—стандартные n-мерные векторные пространства соответственно над RhC, нормированные при помощи обычной евклидовой метрики; если, скажем,
z = (z1, ...,Zn) (z1-€ С)
— вектор в С", то
Il г Il (|г,12+...+Ы2),/2. В С" можно ввести и другие нормы, например
112H = Iz1I-t-... 4-1 zn I или И z И = max (| Z11: 1<г<и).
Если п > 1, то этим нормам отвечают, конечно, другие метрики в С'1; легко, однако, проверить, что они индуцируют в С" одну и ту же топологию. В действительности можно утверждать большее. Если X—топологическое векторное пространство над С и dim Х — п, то каждый базис в X индуцирует изоморфизм между X и С'1. В теореме 1.21 будет установлено, что этот изоморфизм обязательно является гомеоморфизмом. Иными словами, это означает, что естественная топология в Сп является единственной векторной топологией, возможной в комплексном п-мерном топологическом векторном пространстве.
Мы увидим также, что конечномерные подпространства всегда замкнуты.
Все сказанное выше остается справедливым при замене комплексных скаляров вещественными.
гл. 1. топологические векторные пространства
23-
Мы начнем с леммы, которая далее будет перекрыта теоремами 1.21 и 1.22.
1.20. Лемма. Пусть Y — подпространство топологического векторного пространства X, локально компактное в индуцированной из X топологии. TozdaY—замкнутое подпространство вХ.
Доказательство. Существует такое компактное множество К с Y, внутренность которого (относительно Y) содержит 0. Поэтому найдется такая окрестность нуля UbX, что Uf)YcK. Выберем симметричную окрестность нуля VbX, для которой V+ VcU. Мы утверждаем, что для любого х Є X множество
Q Yn (X+V)
компактно (быть может, пусто).
Чтобы убедиться в этом, фиксируем точку у0 ? Q. Для любого
У—У о = (У—X) + (x — y0)?V + VcU.
Кроме того, у—у0 6 F, ибо Y — подпространство. Поэтому
y-y»?U[\YcK,
откуда следует, что Q содержится в компактном множестве у0 + К- В то же время Q является замкнутым подмножеством
в Y, поскольку X + V замкнуто в X, a Y наследует свою топологию из X. Таким образом, Q является замкнутым подмножеством компактного множества и потому компактно.
Фиксируем теперь X ? Y. Пусть 33—совокупность всех таких открытых подмножеств W пространства X, для которых 0? W и WcV; сопоставим каждому W ?33 множество
Ew = Yf)(x+W).
Поскольку WcV, каждое из множеств Ew компактно. Так как
X ? Y, то все они непусты. Пересечение конечного числа множеств из 33 тоже принадлежит 33; отсюда следует, что \EW: W ?33\ является центрированной системой компактных множеств (т. е. такой системой, любая конечная подсистема которой имеет непустое пересечение). Поэтому существует z ? 0/?. Зта точка г
принадлежит Y. С другой стороны, z?x + W для любого W ? 33. Поэтому Z^x (теорема 1.12). Следовательно, х ? Y. Мы доказали, что Y = Y, т. е. Y замкнуто. Q
1.21. Теорема. Пусть X — комплексное топологическое векторное пространство, Y—его подпространство, п— целое положительное число и dim K = я. Тогда
(а) каждый изоморфизм пространства С" на Y является гомеоморфизмом;
24
часть 1. общая теория
(b) Y замкнуто.
Конечно, термин «гомеоморфизм» относится, с одной стороны, к евклидовой топологии пространства С" и, с другой стороны, к топологии подпространства Y, которую оно наследует от X. Так как С" локально компактно, то лемма 1.20 показывает, что (Ь) следует из (а). Данное ниже доказательство пригодно также для получения аналогичной теоремы в вещественном случае.
Доказательство. Пусть Pn обозначает утверждение теоремы. Докажем сначала справедливость P1. Пусть Л: С—> K— изоморфизм (т. е. взаимно однозначное линейное отображение С на Y). Положим и = Al. Тогда Ла = аы, и из непрерывности операций векторного пространства в Y следует, что Л непрерывно. Заметим, что Л-1—линейный функционал на Y с ядром {0}, которое является замкнутым множеством. По теореме 1.18 этот функционал непрерывен. Справедливость P1 доказана.
Предположим далее, что п > 1 и что справедливость Рп-Х уже установлена. Пусть Л: С"—*Y — изоморфизм. Пусть ]еи ..., еп\ — стандартный базис в С", т. е. k-я координата вектора ek равна 1, а остальные его координаты равны 0. Положим uk = Aek для k = l, ..., п. Тогда
