Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 10

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 171 >> Следующая

Эти свойства функции f показывают, что формула (5) определяет инвариантную относительно сдвигов метрику d на X. Открытые шары с центрами в точке 0 являются открытыми множествами:
(9) В6(0) = {х: /(*)<6} = U А (г).
Если 6<2-", то B6 (0)с=1/п. Поэтому {B6(O)} является локальной базой топологии пространства X. Это доказывает справедливость (а). Так как все А (г) уравновешены, то такими же являются и все B6(O). Если каждая из окрестностей Vn выпукла, то все А (г) выпуклы, и из (7) следует выпуклость всех шаров B6[O)1 а потому h всех их сдвигов.
Доказательство формулы (6) проведем по индукции. Пусть Pn обозначает следующее утверждение:
если г + s < 1 и Cn (г) — с„ (s) = 0 для всех п> N, то
(10) A(r) + A(s)cA(r + s).
Утверждение P1 проверяется непосредственно. Предположим* что Pn-X справедливо для некоторого NyI. Пусть г € D1 s^D, /"-fs<l и Cn (г) = сп (s) = 0 при n>N; определим г' и s' условиями
(И) r = r' + c„(r)2-»t s s' + cN(s)2-».
Тогда
(12) A(r)=--A(r') + cN(r)VNt A(s) A (s') + cN(s)VNl и А (г') + A (s')cz А (г' + s') в силу PN-X. Следовательно,
(13) A(r)-\-A(s)cA(r'+s') \-cN(r)VN +cN(s) Vn.
28
часть 1. общая теория
Если cN(r) = cN(s)=0, то г = ґ, s = s' и (13) превращается в (10). Если сЛг(г) = 0 и cjv(s) = I, то правая часть (13) равна
A(r'+s')+V„=A(r' + s' + 2-») = A(r + s),
так что (10) опять справедливо. Случай cN(r) — \, cN(s) = 0 разбирается тем же способом. Если cN (г) = cN (s) = 1, то правая часть (13) равна
А (Ґ + s') + VN+VNczA (Ґ + s') + VN_t =
= А {г' + s') + А (2l) cz А [ґ + s' H-2~^+1) = А (г + s)
(последнее включение основано на PN-t).
Таким образом, Pn-^1 влечет за собой Pn. Следовательно, (6) верно, и доказательство закончено. Щ
1.25. Последовательности Коши. (а) Пусть d — метрика на множестве X. Последовательность {хп} в X называется последовательностью Коши, если для каждого є > 0 найдется такое натуральное N, что d(xm, Xn) < е всякий раз, когда m>N и п > N. Если каждая последовательность Коши сходится в X к некоторой точке, то d называется полной метрикой на X.
(b) Пусть т—топология топологического векторного пространства X. Понятие последовательности Коши в этой ситуации можно ввести, не обращаясь к какой бы то ни было метрике. Действительно, фиксируем некоторую локальную базу SB топологии т и назовем последовательность {хп\ в X последовательностью Коши, если для каждой окрестности нуля V € S3 найдется такое N, что Xn—xrn?V при п > N и т > N.
Ясно, что любая другая локальная база топологии т приводит к тому же самому классу последовательностей Коши.
(c) Предположим теперь, что X—топологическое векторное пространство, топология т которого совместима с инвариантной метрикой d. Будем временно пользоваться выражениями «d-после-довательность Коши» и «^-последовательность Коши» для последовательностей, определенных соответственно в (а) и (Ь). Поскольку
d(xn, xm)=d(x„—xm, 0)
и d-шары с центрами в начале образуют локальную базу топологии т, мы приходим к такому заключению:
Последовательность {хп\ в X является d-последовательностью Коши тогда и только тогда, когда она является х-последова-тельностью Коши.
Итак, любые две инвариантные метрики на X, сое ісстимьіе с топологией т, определяют один и тот же запас последовательностей Коши. Ясно также, что таким метрикам соответствует один и тот же класс сходящихся последовательностей (а именно
гл. I. топологические векторные пространства 29
класс всех т-сходящихся последовательностей). Эти замечания устанавливают справедливость следующей теоремы.
1.26. Теорема. Если dt и dz—инвариантные метрики на векторном пространстве X, индуцирующие в X одну и ту же топологию, то
(a) dx и d2 определяют один и тот же запас последовательностей Коши;
(b) метрика dx полна тогда и только тогда, когда полна метрика d2.
Отметим, что условие инвариантности существенно (упр. 12).
Следующая теорема является аналогом леммы 1.20, но условие локальной компактности заменено в ней условием полноты. Отметим также сходство доказательств этих двух результатов.
1.27. Теорема. Предположим, что У—подпространство топологического векторного пространства X и что Y является F-npo-странством в топологии, наследуемой им от X. Тогда Y замкнуто в X.
Доказательство. Выберем инвариантную метрику d на подпространстве Y, совместимую с его топологией. Положим
Bvn={y?Y: d(y, 0)<~|,
и пусть Un—такая окрестность нуля в X, что Y f\Un = B1/п; выберем такие симметричные окрестности нуля Vn в X, что Vn + VnczUn.
Допустим, что x?Y, и положим
En = Yn(x + Vn) (п = \, 2, 3, ...).
Если Ух^Еп и y2(zEn, то W1—у2 лежит как в Y, так и в Vn-\-Vn cz Un, а потому и в Вцп. Следовательно, диаметры множеств En стремятся к 0. Поскольку каждое из них непусто, a Y полно, отсюда следует, что F-замыкания множеств En имеют ровно одну общую точку у0.
Пусть W—окрестность нуля в X; положим
Fn = Yn(x + WnVn).
Предыдущее рассуждение показывает, что К-замыкания этих множеств Fn имеют единственную общую точку yw. Но Fn cz En, поэтому yw = y„. Так как Fncz x-\-W, то отсюда следует, что у0 принадлежит Х-замыканию множества x-\-W для любой окрестности нуля W. Поэтому у0 = х. Таким образом, х^Y. Это показывает, что Y = Y. Щ
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed