Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Il/II = 11/II»+ 11/'II-
(a) Показать, что С есть полупростая коммутативная банахова алгебра. Найти пространство максимальных идеалов этой алгебры.
(b) Фиксируем точку р, 0<:р^,\. Пусть / — множество всех функций f?C, для которых / (р) = /' (р) = 0. Показать, что J — замкнутый идеал в С и С/J—двумерная алгебра с одномерным радикалом. [Тем самым получается пример полуиростой алгебры с нсполупростыми факторалгебрами. J Какой из двух алгебр, описанных в упр. 14 гл. 10, изоморфна алгебра C/J?
10. Пусть А—диск-алгебра. Сопоставим каждой функции функцию /* ? А по формуле
Тогда /—>•/* есть инволюция на А.
(a) Будет ли алгебра А с этой инволюцией б*-алгеброй?
(b) Обязательно ли n([f*) состоит только из вещественных чисел?
(c) Какие из комплексных гомоморфизмов алгебры Л япляются положительными функционалами относительно данной инволюции?
(d) Если ц—положительная борелевская мера на отрезке [—1, 1], то
і
/ — J /(OdIi(O -і
есть положительный функционал на алгебре А. Существуют ли другие положительные функционалы?
11. Показать, что расстояние между двумя коммутирующими идемпотен-тами не меньше 1. Точнее, если х и у—элементы некоторой банаховой алгебры, причем х2 = х, у2 = у и ху = ух, то либо х — у, либо Il л:—i/||Ssl. Показать, что утверждение может оказаться неверным, если ху Ф ух.
12. Доказать, что если ху = ух для некоторых элементов х и у банаховой алгебры, то
P (x-t-y) < р (*) + р (у) и р (ху) < р (х) р (у).
13. Пусть / — некоторое достаточно большое положительное число. Зададим норму на С2, полагая
IMI =1^11 + ^1^2 1, ССЛИ W = (W1, W2).
Пусть А — алгебра всех комплексных квадратных матриц порядка 2 с соответствующей операторной нормой:
\\y\\=max{\\y(w)\\: \\w\\ = l} (у?А).
Для уZ А обозначим через у* матрицу, комплексно сопряженную к транспонированной. Рассмотрим некоторый фиксированный элемент х?А, а именно
/0 /2\
о)-
Доказать следующие утверждения:
(a) Il к (w) К = t К w И, так что ||х|| = *;
(b) a(x) = {t, -t} = o(x*)-t
326
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
(c) о (je«*) = {1, tl} = a(x*x);
(d) o(x+x*) = {l + t*, -I-/2};
(e) коммутативность существенна в теореме 11.23 и упр. 12;
(f) если для каждого обозначить через F (у) сумму всех компонент-матрицы у, то F—положительный функционал на А;
(g) равенство Л F \\ = F (е) (см. утверждение (е) теоремы 11.31) не выполняется, так как F (с) — 2, F(x) = l -\-12 и, следовательно, ||/"'|| > ^
(h) пусть К — множество всех положительных функционалов / на А,. удовлетворяющих условию /(<?)<:1 (как в теореме 11.33). Тогда К обладает большим количеством крайних точек, но единственный мультипликативный! функционал на А — нулевой. Таким образом, коммутативность существенна для справедливости импликации (с) => (а) в теореме 11.33.
14. Комплексная функция ф на R" называется положительно определенной если для любых x1, хг G R'1 и любых комплексных c1, ...,сг выполняется неравенство
г
2 С.-С/Ф (*/ — */) ^0-
i, J=I
(a) Показать, что | ф (х) I Ф (0) при каждом x?R".
(b) Показать, что преобразование Фурье каждой положительной борелевской меры на R" является положительно определенной функцией.
(c) Если у—непрерывная положительно определенная функция, то ф является* преобразованием Фурье некоторой конечной положительной борелевской мерье (теорема Бохнера). Восстановить детали в следующем доказательстве этого утверждения:
Пусть А — алгебра со сверткой в качестве умножения, которая получается добавлением единицы к L1 (R") (как это описано в и. 10.3 (d) и 11.13(e))..
Положим /(*) = /(—х). Тогда
/+аб —> / + аб есть инволюция на А и функционал
/-f-аб—> f /фЛп„+шр(0)
является положительным. По теореме 11.32 и согласно 11.13(e), существует такая положительная мера р: на одноточечной компактификации А пространства R", что
J /<pdmM +сир (O) = J (f + a)d[i.
Если о—сужение меры р, на R", то
\ fq>dmn— \ Jdo
для каждого /^L1 (R"). Поэтому ф=а. [Ha самом деле мера f.i сосредоточена на Rn, так что ст="р:.]
(d) Пусть P — множество всех непрерывных положительно определенных функций ф на R", удовлетворяющих условию ф(0)^1. Описать крайние-точки этого множества.
15. Пусть А—пространство максимальных идеалов некоторой коммутативной банаховой алгебры А. Замкнутое множество ? cz А называется А-сра-
ГЛ. П. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
327
гницей, если для любого JC ? А максимум | а; | на ? совпадает с максимумом | х | на всем Л. [Очевидно, что само Л является Л-границей.]
Доказать, что пересечение дд всех Л-границ является Л-границей.
Множество дд называется границей Шилова алгебры А. Терминология навеяна принципом максимума модуля для голоморфных функций. Например, «ели А есть диск-алгебра, то дд совпадает с единичной окружностью, которая служит топологической границей пространства максимальных идеалов А, совпадающего с замкнутым единичным диском.
Схема доказательства. Сначала проверяется, что существует Л-граница ?o, минимальная в том смысле, что никакое собственное замкнутое подмно--жество в ?0 уже не является Л-границей. [Упорядочить семейство всех Л-границ по включению и т.д.] Затем устанавливается, что ?o==^. Действительно, пусть fto^?o и элементы JC1, ...,хп?А удовлетворяют условию jC{ (h0) = 0. Положим
