Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 119

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 171 >> Следующая

Мы говорим, что множество 5 коммутативно, если любые два элемента из 5 коммутируют между собой. Мы будем использовать следующие простые свойства централизатора:
(a) Г (S) есть замкнутая подалгебра в А;
(b) SczV(Y (S));
(c) если множество S коммутативно, то коммутативно и множество T(T(S)).
В самом деле, если элементы х и у коммутируют с каждым S, то это верно и в отношении элементов Xx, X -\-у и ху. Кроме того, Г (.S) замкнуто, поскольку умножение в А непрерывно. Тем самым доказано утверждение (а). Так как каждый элемент s?S коммутирует со всеми элементами X g Г (S), то выполняется (Ь). Если S коммутативно, то SaT(S) и поэтому F(S)Z)T(T(S)). Отсюда вытекает (с), ибо T(E), очевидно, коммутативно, если F(E)CiE.
11.22. Теорема. Пусть А—банахова алгебра, Sс А, причем S коммутативно, и В — Г (Г (S)). Тогда В—коммутативная банахова алгебра, ScB и оЕ (х) = оА (х) для каждого элемента х?В.
Доказательство. Так как е?В, то п. 11.21 показывает, что В—коммутативная банахова алгебра, содержащая S. Предположим, что элемент X принадлежит В и обратим в А. Мы должны показать, что х~х?В. Так как х?В, то ху = ух для каждого -у ? Г (S). Поэтому у = х~хух и ух"1 —х~ху. Но это означает, что х-* (-T(T(S))-В. ¦
11.23. Теорема. Пусть А — банахова алгебра, х ? А, у ^A и ху = ух. Тогда
G(x + y)czo(x) + G(y) и а (ху)CZO (х) G (у).
Доказательство. Положим S = \х, у), и пусть B = T(T (S)). Тогда х-}-у^В, ху?В, и, по теореме 11.22, мы должны дока-
316 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
зать, что
я в (х + У) <= ав (х) + ов (у) и o? (ху) cz ов (х) ов (у).
Так как алгебра В коммутативна, то для каждого элемента z G В его спектр ов (г) совпадает с множеством значений преобразования Гельфанда z (которое рассматривается здесь как функция на пространстве максимальных идеалов алгебры В). Поэтому утверждение теоремы вытекает из тождеств
(х + уГ = х +у и (ху)" = ху. Щ
Ниже используются обозначения из п. 10.37. Напомним, что операторы умножения слева и справа коммутируют.
Следствие. Если Cx = Rx—Lx, то о (Cx)со(х)—о(х).
Доказательство. Если применить теорему к коммутирующим элементам Rx и—Lx алгебры ЗВ(А), то получится
о (Cx)czo (Rx)-o (Lx). Вместе с тем о (Rx) = о (х) = a (Lx). Щ
11.24. Определение. Пусть А—алгебра с инволюцией. Если X G Л и хх* = х*х, то элемент X называется нормальным. Множество ScA называют нормальным, если 5 коммутативно и вместе с каждым элементом х содержит х*.
11.25. Теорема. Пусть А—банахова алгебра с инволюцией и В—нормальное подмножество в А, причем В максимально среди нормальных подмножеств. Тогда
(a) В есть замкнутая коммутативная подалгебра в А;
(b) on (х) = оА (х) для каждого элемента х?В.
Заметим, что инволюция не предполагается непрерывной. Тем не менее В оказывается замкнутым подмножеством.
Доказательство. Начнем с доказательства следующего простого критерия принадлежности к В. Если х G А, причем хх* = х*х и ху = ух для каждого у G В, то xG E-
В самом деле, если элемент х удовлетворяет указанным условиям, то ввиду нормальности В мы будем иметь также ху* = у*х и х*у = ух* для каждого у G В. Поэтому множество B[j{x, х*\ тоже будет нормальным. Поэтому х G В, ибо по предположению В максимально.
Если воспользоваться указанным критерием, то становится ясно, что сумма и произведение элементов из В снова являются элементами из В. Поэтому В — коммутативная алгебра.
Предположим теперь, что XnGB и Xn—> х. Так как хпу = ухп для всех у G E и так как умножение непрерывно, то ху = ух. Далее,
х*у = (у*х)* — (ху*)* = ух*.
ГЛ. 11. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
317
В частности, х*хп = хпх* для всех п, откуда получается, что х*х = хх*. Согласно нашему критерию, х?В. Тем самым доказано, что В — замкнутая подалгебра в Л, т. е. утверждение (а).
Заметим, что е ZB. Для доказательства утверждения (Ь) предположим, что XZB и X-1ZA. Так как х—нормальный элемент, то и элемент л:-1 является нормальным. Кроме того, так как элемент X коммутирует с каждым элементом у Z В, то этим свойством обладает и элемент х~1. Поэтому x~lZB. Щ
Наше первое приложение этого результата составляет следующее усиление теоремы 11.20.
11.26. Теорема. В условии теоремы 11.20 можно опустить слово «коммутативная».
Доказательство. По теореме Хаусдорфа о максимальности данный эрмитов (а потому и нормальный) элемент х Z А содержится в некотором максимальном нормальном множестве В. Согласно теореме 11.25, к X применима теорема 11.20. Щ
11.27. Определение. Если х—элемент банаховой алгебры с инволюцией, то соотношение х^О означает, что х = х* и что с?(л:)сг[0, сю).
11.28. Теорема. Каждая В*-алгебра А обладает следующими свойствами:
(a) эрмитовы элементы имеют вещественный спектр;
(b) если элемент xZA нормален, то р (х) = ||х||;
(c) если у Z Л, то р (уу*) = || у [|2;
(d) если и Z А, оZ А, причем и ^O и v^O, то u-\-v^0\
(e) если у Z А, то yif^O;
(f) если у Z А, то элемент е-\-уу* обратим в А.
Доказательство. Каждый нормальный элемент х Z А содержится в некотором максимальном нормальном множестве Вcr А. По теоремам 11.18 и 11.25 множество В является коммутативной Б*-алгеброй, изометрически изоморфной своему преобразованию Гельфанда B = C(A) и обладающей тем свойством, что
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed