Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 124

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 171 >> Следующая

V = {Л^A: I X1-(Л) I < I при 1<1<я|. Так как граница ?0 минимальна, то найдется такой элемент Jt ? Л, для которого II a; |L = 1 и I je (h) | < I на ?o\^- Если у=хт и m достаточно велико, то \Х[у\ < 1 на ?0 при всех і. Поэтому Hjc^H«, < 1. Отсюда вытекает, что равенство I у (h) \ = || у \\х может выполняться только для точек h ?V. Следовательно, множество V пересекается с каждой Л-границей ?, так что /io€?-Таким образом, ?0 <Z ? и окончательно $0 = дд.
16. Пусть Л—банахова алгебра и т—целое число, не меньшее 2. Предположим, что
\\х\\т^К\\хт\\
для каждого х?А, где К < оо. Доказать существование таких констант Kn* п=\, 2, 3, ..., что
II X И» < Kn Il JC" И (х?А). {Это дает усиление теоремы 11.12.]
17. Пусть {(On} (—оо < п < оо) — такая последовательность положительных чисел, что ю0 = 1 и
для всех целых тип. Пусть Л = Л{со„}—множество всех комплексных «функций / целочисленного аргумента, для которых конечна норма
11/11= S 1/(я)|©„.
— со
«Определим умножение в Л, полагая
со
(/*?)(«)= S f(n-k)g(k).
ft= — со
(a) Показать, что Л {©„} есть коммутативная банахова алгебра.
(b) Показать, что предел R+ = Hm (а>п)1/п существует, конечен и что
П -V со
M+ = inf ы1/п.
п О
(c) Доказать аналогичное утверждение относительно предела R- = = Hm (ы-п)1^п. Показать, что R- ^R + .
п -V со
(d) Положим Д = {Я?С: R-^ | X \ R + }. Показать, что А можно отождествить с пространством максимальных идеалов алгебры Л {©„}, причем так, что преобразования Гельфанда будут представляться абсолютно сходящимися в А рядами Лорана.
328 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
(e) Рассмотрим следующие способы выбора последовательности {со„}:
(i) со„=1;
(ii) (Dn = 2«;
(iii) (o,j = 2", если пз*0, Con=I, если п < 0;
(iv) ©„=1+2«2;
(v) co„= 1+2л2, если n^O, COn=I, если п < 0.
В каких из этих случаев А совпадает с окружностью? В каких из этих случаев алгебра А {соп} будет самосопряженной в том смысле, что А вместе с каждой функцией содержит комплексно сопряженную?
(f) Всегда ли алгебра А |соп| полупроста?
(U) Существует ли такая алгебра А {со,,}, для которой А совпадает с единичной окружностью, а А состоит только из бесконечно дифференцируемых функций?
Глава 12
ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
Основные факты
12.1. Определения. Комплексное векторное пространство H называется пространством с внутренним произведением (или унитарным пространством), если каждой упорядоченной паре векторов X и у из II сопоставлено комплексное число (х, у), называемое внутренним, или скалярным, произведением, причем выполняются следующие условия:
(a) (у, х) = (х, у) (черта означает комплексное сопряжение);
(b) (х + у, z) = (x, z)+ (у, г);
(c) (ах, у) —а (х, у), если х Z Н, у ZH, а ?С;
(d) (х, х)~^0 для всех X Z Н;
(e) (х, х) = 0 только при X = 0.
Таким образом, при фиксированном у число (х, у) представляет собой линейный функционал но х, а при фиксированном х—сопряженно-линейный функционал по у. Такие функции двух переменных иногда называют полуторалинейными.
Если (я, у) = 0, то вектор х называется ортогональным к вектору у и иногда в этом случае используется обозначение xj_y. Так как из (х, у) = 0 вытекает (у, х) — 0, то отношение х _[_ у симметрично. Если E cz H и FczH, то запись E \_F означает, что (х, у) = 0 при любых X Z E и у Z F. Далее, через EL обозначается совокупность всех векторов у Z Н, ортогональных к каждому из векторов X ZE.
В каждом унитарном пространстве величина
\\х\\ = (х, xW2
определяет норму (выполнение соответствующих аксиом проверяется в теореме 12.2). Если полученное нормированное пространство оказывается полным, то оно называется гильбертовым пространством.
12.2. Теорема. Если х?Н и уZEI, где Я—унитарное пространство, то
<1) I (X9 у) |< И X И И у Ii
330
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
и
(2) \U+y\\<\\x\\ + \\y\\.
Кроме того, условие х _[_ у эквивалентно условию
(3) Il # Il ^ Il А-*+ # Il для каждого X Z С.
Доказательство. Положим а = (х, у). Простая выкладка показывает, что
(4) 0 < Il Kx + у ||2 = IXI2 II XII« + 2Re (cd) +1| у \\\
Поэтому если а = 0, т.е. (х, //) = 0, то неравенство (3) выполняется. При л: = 0 неравенства (1) и (3) очевидны. Если хфО, то
положим X =—а/||х||2. При таком X из неравенства (4) получается неравенство
(5) 0 < Il Xx + у ||2 = И H'-j^r.
Отсюда вытекает неравенство (1), а также следует, что (для указанного X) неравенство (3) нарушается, если афО. Возводя неравенство (2) в квадрат, легко видеть, что оно является следствием неравенства (1). Теорема доказана.Щ
Примечание. Всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, H обозначает некоторое гильбертово пространство.-
12.3. Теорема. В каждом непустом замкнутом выпуклом множестве Ecz H имеется ровно один элемент с минимальной (для элементов этого множества) нормой.
Доказательство. Непосредственно из определения нормы* в унитарном пространстве вытекает так называемое правило параллелограмма:
(1) \\x + y\Y + \\x-yf = 2\\x\\2 + 2\\y\\2 (х?Н, у?11). Положим
(2) d = inf {||*||: X ZE).
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed