Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(5) F(xx*)^F(e)p(xx*),
и утверждение (с) полностью доказано:
Если X—нормальный элемент, т.е. хх*=х*х, то из теоремы 11.23 вытекает, что о(хх*)со(х)о(х*) и, значит,
(6) р р (я) р(%*) = р (X)2.
Ясно, что из неравенств (6) и (с) получается (d).
Если алгебра А коммутативна, то неравенство (d) выполняется для всех X G А и поэтому Il F \\ = F (е). Если || х* || ^ ? || х ||, то из (с) вытекает, что | F (х)\^ F (е) ?,/2 ||х||, так как р (хх*) ^ ||x|| \\х* ||. Этим установлены оба указанных специальных случая утверждения (е).
Прежде чем переходить к общему случаю, заметим, что F (е) ^ 0 и F(x) = 0 для каждого х?А, если /;(е) = 0. Действительно, и то и другое вытекает из неравенств (с). Поэтому в оставшейся части доказательства мы можем (и будем), не ограничивая общности, считать, что
(7) F(e)=l.
Пусть Я—замыкание множества H всех эрмитовых элементов алгебры А. Заметим, что H и Ш суть вещественные векторные пространства и что A = H -\-іН по теореме 11.15. Согласно утверждению (d), сужение функционала FmH является вещественным линейным функционалом с нормой 1. Поэтому этот вещественный функционал продолжается до вещественного функционала Ф с
нормой 1 на Н. Теперь мы утверждаем, что
(8)
ф(у) — 0, если у?Н{) Ш.
ГЛ. 11. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
32t
Действительно, пусть y = \imun = \im(ivn), где UnZ H и VnZH. Тогда ul—у у2, vi—>—у2 и из неравенств (с) и (d) вытекает, что
(9) IF (Un) \2^F (и2) <F(u2 + vi) < Il и2 + vi || — 0.
Так как Ф (у) = Iim F (ип), то (8) доказано.
По теореме 5.20 существует такая константа у < оо, что каждый элемент X Z А обладает представлением
(10) JC=JC1-H*,, X1ZH, X2ZH, Il X1 Il + у X21|< у INI-
Если X = u-\-iv, где и ZH, vZH, то X1 — и и X2—v содержатся в H Г) ІН. Поэтому из (8) вытекает, что
(11) F (X) = F (и) + IF (V) = Ф (X1) + ІФ (X2) и, следовательно,
(12) \F (х)\^ |Ф(дд| + |Ф (X8)I^ INII+lNKvIl* II- ¦
Дальнейшая информация по поводу утверждения (е) содержится в упр. 13.
Примеры положительных функционалов и связь их с положительными мерами составляют содержание следующей теоремы. В качестве весьма частного случая она содержит классическую теорему Бохиера о положительно определенных функциях. Отождествления, приводящие от одной теоремы к другой, указаны в упр. 14.
11.32. Теорема. Пусть А—коммутативная банахова алгебра с инволюцией и А—ее пространство максимальных идеалов. Предположим, что инволюция симметрична в том смысле, что
(1) h (X*)=. їфс) (xZA, А Є А).
Обозначим через К множество всех положительных функционалов F на А, удовлетворяющих условию F(e)^. 1. Пусть M—множество всех положительных регулярных борелевских мер \х на Ау для которых р (A) ^ 1. Тогда формула
(2) F(x) = [xd[i
д
устанавливает взаимно однозначное соответствие между выпуклыми множествами К и М, причем крайним точкам соответствуют крайние точки.
В частности, мультипликативные линейные функционалы на А суть в точности крайние точки множества К.
Доказательство. Если ц^Ж и F определяется формулой (2), то очевидно, что F—линейный функционал, причем F (хх*) =
= J (л+ф^О, поскольку из условия (1) вытекает, что (хх*У —
= |х|2. Так как F(е) = ц(А), то FZК-
11 871
322 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Если F?K, то, согласно утверждению (d) теоремы 11.31, функционал F аннулирует радикал алгебры Л. Поэтому сущест-
»¦V 1", л
вует такой функционал F на алгебре Л, что F(x) = F(x) для всех X Є Л. Далее, снова по утверждению (d) теоремы 11.31, получаем
(3) \F(x)\-=\F(x)\^F(e)p(x)=F(e)\\x\\^ (х$А).
Это означает, что F является линейным функционалом с нормой
F (е) на подпространстве Л пространства С (А). Продолжим этот функционал с сохранением нормы на C(A) и воспользуемся теоремой Рисса о представлении, согласно которой найдется такая регулярная борелевская мера р, IJpH = F(o), что будет иметь место представление (2). Так как
(4) р (А) = Je dp = F (е) = И р И,
д
то мы видим, что р^О1). Таким образом, р € М.
Согласно условию (1), алгебра Л вместе с каждой функцией содержит комплексно сопряженную. Кроме того, она содержит константы и разделяет точки компакта А. По теореме Стоуна—¦ Вейсрштрасса она плотна в C(A). Поэтому мера р однозначно определяется функционалом F.
Одной из крайних точек множества M служит 0. Все другие отвечают единичным мерам с одноточечными носителями h?А. Так как каждый комплексный гомоморфизм алгебры Л имеет вид
X—>x(h) при некотором h ?А, то доказательство закончено. Щ
В заключение мы покажем, что крайние точки множества К суть мультипликативные функционалы даже и в том случае, когда условие (1) не выполняется.
11.33. Теорема. Пусть К—множество всех положительных функционалов F на некоторой коммутативной банаховой алгебре А с инволюцией, удовлетворяющих условию F(e)^.l. Если F € К, то выполнение каждого из следующих трех условий влечет за собой выполнение двух других:
(a) F (ху) = F (х) F (у) для всех х и у из А;
(b) F (XX*) = F (х) F (X*) для каждого х?А;
(c) F является крайней точкой множества К.
Доказательство. Очевидно, что (Ь) вытекает из (а). Предположим, что выполняется (Ь). Полагая здесь х = е, мы получаем F(e) = F(е)*, так что F(e) = 0 или F(e)=l. Если F(e) = 0, то
