Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
1J Это общий факт: если -ф—такой функционал на С(Д), что || ф || = = i|?(1) = 1, то (/)^50 при /^=0. Действительно, пусть 0^/^1 и ф(/) =
= a-H?. Тогда |ф(/)|<1, | 1 —tytf) I = I Ф(1—П |<1» так что «5^0. Кроме того, при вещественных t имеем 1 ^ J ф (filt') J = | 1 ^?f + iotf-f-o (t) J, так что ? = 0.— Прим. ред.
ГЛ. П. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
323
F = O ввиду утверждения (с) теоремы 11.31, и в этом случае F, конечно, является крайней точкой множества К- Предположим, что F(e) = 1. Пусть 2F = F1-I-F2, где F1ZK, F2ZK- Мы покажем, что F1 = F. Ясно, что F1(b) —\ = F (е). Если элемент хZА таков, что F(x) = 0, то
(1) \ F1(X) I2 ^F1 (хх*) <2F (хх*) = 2F(х)F(х*) = О
ввиду утверждения (Ь) теоремы 11.31. Таким образом, функционал F1 совпадает с F на ядре функционала F и в точке е, не принадлежащей ядру. Поэтому F1 = F, т. е. из (Ь) вытекает (с).
Нам остается показать, что из (с) вытекает (а). Пусть F—-крайняя точка множества К. Тогда либо F(e) = 0, и в этом случае доказывать нечего, либо F (е) = 1. Сначала мы покажем, что выполняется один специальный случай условия (а), а именно
(2) F(хх*у) = F(xx*)F(у) (xZA, yZA).
Выберем такой элемент х, что ||хл;*||< 1. По теореме 11.20 найдется такой элемент г Z А, что г — z* и 22 — е—хх*. Пусть
(3) Ф (у) = F (хх*у) (у Z А). Тогда
(4) Ф (yy*) = F(xx*yy*)=F [(ху) (ху)*] > 0 и
(5) (F-Ф) (yy*)=F[(e-xx*)yy*] = F (z*yy*) = F[(yz) (yz)*] > 0. Так как
(6) 0^(e) = F(xx*)^F(e)\\xx*\\< 1,
то из (4) и (5) вытекает, что оба функционала Ф и F—Ф принадлежат К. Если Ф(е) = 0, то Ф = 0 (и в этом случае соотношение (2), очевидно, выполняется). Если же Ф(е)>0, то из (6) получается следующее представление функционала F в виде выпуклой комбинации элементов из К'-
Но по предположению F—крайняя точка, так что
(8) Ф = Ф(е)^.
Теперь соотношение (2) непосредственно вытекает из (8) и (3).
Наконец, переход от (2) к (а) может быть совершен при помощи каждого из следующих тождеств, которые имеют место при любой инволюции. Именно, прия = 3, 4, 5, ... пусть со —ехр (2т(п)\ если X Z А, то положим zp = e-}-(o~Px. Тогда
п
(9) *=12>%?;«
324 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Доказательство тождества (9) получается прямым вычислением, в котором используется тот факт, что
(10) 2 ^=J] шг^=о. ¦
P=i P=i
Упражнения
1. Доказать предложение 11.2.
2. Сформулировать и доказать аналог леммы Винера 11.6 для степенных рядов, абсолютно сходящихся в замкнутом единичном диске.
3. Пусть X — компактное хаусдорфово пространство. Показать, что имеется естественное взаимно однозначное соответствие между замкнутыми подмножествами компакта X и замкнутыми идеалами алгебры С (X).
4. Доказать, что полиномы плотны в полидиск-алгебре A (Un) (теорема 11.7). Наводящее соображение. Если f?A (Uп) и 0 < г < 1, то определим fr, полагая f r(z) = J (rz). Тогда fr представляется суммой абсолютно (и равномерно) сходящегося на Un кратного степенного ряда.
5. Пусть А — коммутативная банахова алгебра, х?Л и функция / голоморфна в некотором открытом множестве QdC, содержащем множество значений функции х. Доказать существование такого элемента у ? А, что у=fox, т.е. h (у) ~ f (h (х)) для каждого комплексного гомоморфизма h алгебры А. Доказать, что элемент у однозначно определяется по X и /, если алгебра А полупроста.
6. Пусть А и В — коммутативные банаховы алгебры, причем алгебра В полупроста. Рассмотрим гомоморфизм гр: А —В. Предположим, что образ алгебры А относительно этого гомоморфизма плотен в В. Определим отображение а: Ад—>Ал. полагая
(otA) (X) = A (4J)(JC)) (XGA1 h?AB).
Доказать, что а является гомеоморфизмом пространства Ад на некоторое компактное подмножество в A^. [Тот факт, что ф (А) плотно в В, влечет за собой инъективность отображения а и, кроме того, совпадение исходной топологии А# со слабой топологией, индуцированной преобразованиями Гельфанда элементов вида \\>(х), х?А.]
Пусть А—диск-алгебра и B = C(K), где К — некоторая замкнутая дуга на единичной окружности, не совпадающая со всей окружностыо. Пусть tJ): А — >В — отображение сужения функций из А на К. Из теоремы Рунге легко следует, что ij) (А) плотно в В, т. е. указанное выше условие выполняется. Этот пример показывает, что а (A?) может оказаться собственным подмножеством в A^ даже в том случае, когда отображение гр инъективно.
Построить пример, когда т]р(А) = В, но а (Ад) Ф Ад.
7. В примере 11.13 (Ь) утверждалось, что А Ф С (А). Найти несколько доказательств этого факта.
8. Какие свойства меры Лебега использованы в примере 11.13 (0? Сохраняются ли результаты при замене меры Лебега произвольной положительной мерой?
Восполнить детали в рассуждении, завершающем рассмотрение примера 11.13(f).
ГЛ. П. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
325
В обозначениях примера 11.13(f) показать, что m(S)=m(S) для каждого борелевского множества 5 cz А. Таким образом, границы борелевских множеств имеют меру 0. [В тексте это было доказано для открытых множеств.)
9. Пусть С"— алгебра всех непрерывно дифференцируемых комплексных функций на отрезке [0, 1] с поточечными операциями и нормой
