Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
241
точку F и пересекающая (D) в точке В, а окружность (С)— вторично в точке Л.
1 1°. Доказать, что FA • FB = const. Какое преобразование переводит
окружность (С) в прямую (D). Какая точка соответствует в этом преобразовании середине отрезка AB?
2°. Для каждого положения (d) рассматривается эллипс с фокусом-/7 и большей полуосью AB. Доказать, что все эти эллипсы имеют постоянную длину меньшей оси. Имеется ли в этом семействе окружность? Определить (d) так, чтобы эллипс (С) имел заданную длину большей оси или чтобы он имел заданный эксцентриситет. Исследовать.
3°. Прямая KA пересекает прямою (D) в точке Р. Перпендикуляр к (D) в точке P пересекает (d) в точке М. Доказать, что четверка точек В, A, F, M — гармоническая. Найти геометрическое место (L) точек M при условии, что (d) изменяется. Доказать, что касательная в точке M к (L) и касательная в точке А к окружности (С) пересекаются на прямой (D).
4°. Найти геометрическое место центров окружностей, описанных вокруг треугольника КРВ.
22**. На ориентированной прямой заданы точки Л, F, F' такие, что AF = т, АГ' = т\ 0 </я < яг'. Пусть (F) — окружность с центром F и радиусом т, (F')— окружность с центром Fr и радиусом т', (С)— переменная окружность, касающаяся (F) и (F'); С—центр окружности (С), P—точка прикосновения ее с (F), а P'— точка прикосновения с (F').
1°. Доказать, что геометрическое место точек С состоит из эллипса и прямой линии.
2°. Показать, что если точки PnP' различны, то прямая PP' прохс-дит через фиксированную точку /. Каково положение точки / относительно точек F я F'? Вычислить AI в функции т и т'.
3°. Получить из 2° геометрическое построение точек пересечения эллипса с фокусами F и F', проходящего через Л, с прямой, проходящей через F или F'.
4°. Каково геометрическое место точек пересечения касательных к (С) в точках PnP'?
Дать геометрический способ построения касательных к этлипсу (F), проведенных из любой точки прямой, проходящей через Л, перпендикулярно FF1'.
5°. Найти образы (F), (F') и,(С) в инверсии (Л, Атт'). Во что инвертируется прямая PP'? Plenoльзовать эту инверсию:
а) для того, чтобы установить результаты 2Э;
б) для того, чтобы доказать, что окружность (С) остается ортогональной фиксированной,окружности при условии, что P Vi-P' различны; вычислить AK, где К — центр этой окружности.
23*. Рассмотрим полный четырехугольник, противоположные вершины которого (А, С), (В, D), (/, J). 1°. Доказать, что
ТА t Td Ja ш Jb^ Tb 'Tt ~~~ Jd' Jc '
2е. Вывести отсюда, что если биссектрисы углов IAJ и IBJ пересекаются на IJ, то же самое имеет место и по отношению к углам IDJ и ICJ. »3°. Пусть (^1) и (^2)— Две окружности пучка, предельные точки которого суть IwJ. Какая-нибудь секущая, проходящая через /, пересекает (^1) в точках AwB. Прямые JA и JB пересекают (т2) в точках CwD.
Доказать, что точки /, С, D лежат на одной прямой.
16 П. С. Моденов
242
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
24**. Пусть P — точка, симметричная ортоцентру H треугольника ЛВС по отношению к центру О описанной окружности, и Q— точка, симметричная тбчке О относительно Н. Доказать, что центры тяжести треугольников PBC1 РСА, PAB и центры тяжести треугольников QBC1 QCA и QAB расположены на двух равных окружностях с центрами О и Н. Обобщить это на случай произвольного положения точек P и Q на плоскости.
25. Рассмотрим на прямой точки О, А и В (OA = a, OB = Ь), и пусть прямые OX и AX' проходят через точки О и А перпендикулярно прямой О AB. Возьмем на прямой OX точку M такую, что OM = х. Проведем прямую MB, пересекающую AX' в точке Q, и МР\\ОАВ, причем P — точка прямой AX'; проведем еще MN _[_МВ, где W — точка прямой AX'. 1°. Вычислить в функции a, b, х длины отрезков PN, PQ и AV. 2°. Вычислить х, если задано AN = d.
3°. Доказать, что задача имеет решение, если только d превосходит или равно некоторой величине, и найти эту величину; доказать, что если d принимает это крайнее значение, то соответствующее положение точки M таково, что P — середина AN.
4°. Вычислить площадь треугольника MNQ. Вычислить х, если задана площадь 5 этого треугольника.
5°. Доказать, что последний вопрос имеет решение, если s больше или равно некоторой величине, которую требуется определить. Доказать,
что если s равно этой величине, то MB образует с OAB угол -^.
Дать геометрическую интерпретацию результату. 26**. Рассмотрим треугольники ABC, в которых ?_В = 2 ^ С.
1°. Доказать, что стороны такого треугольника связаны соотношением AC2= AB (AB + ВС).
2°. В таком треугольнике заданы сторона ВС = а и разность AC — AB = I двух других сторон. Составить систему двух уравнений с двумя неизвестными, из которых можно определить длины X VL у сторон AB и АС; решить эту систему; дать исследование.
3°. Дана сторона BC= а произвольного треугольника ABC. Доказать, что условие AC—AB = I указывает на то, что точка А расположена на некоторой линии (Hx); требуется определить тип этой линии и ее расположение.
